中心極限定理のデモンストレーション

さいころを何度も投げるシミュレーションを行って定理を説明する、中心極限定理の「ガイド付きツアー」を提供します。この概念はセッションウィンドウ内の注記で説明され、グラフにシミュレーションの結果が表示されます。この定理は、有限平均がmu(y)で標準偏差がsigma(y)の母集団からサイズnのランダムサンプルを繰り返し抽出し、nが大きい場合、サンプル平均の分布は平均=mu(y)と標準偏差=(sigma(y))/sqrt(n)である正規に近くなるというものです。

マクロをダウンロードする

ダウンロードしたマクロの場所をMinitabが見つけられるようにします。[ツール] > [オプション] > [一般]を選択し、[マクロの位置]でマクロファイルを保存する場所を参照します。

重要

古いWebブラウザを使用している場合、[ダウンロード]ボタンをクリックしたときに、Minitabマクロと同じ.mac拡張子を使用するQuicktimeでファイルが開く場合があります。マクロを保存するには、[ダウンロード]ボタンを右クリックして[対象をファイルに保存]を選択します。

マクロの実行

このマクロはワークシートのデータを作成します。マクロを実行する前に、空のワークシートがアクティブであることを確認してください。

マクロを実行するには、セッションウィンドウの任意の場所をクリックし、[エディタ] > [コマンドを有効にする]を選択します。コマンドプロンプト(MTB>)で次のコマンドを入力します。

%CLT

Enterキーを押します。

中心極限定理は、有限平均がmu(y)で標準偏差がsigma(y)の母集団からサイズnのランダムサンプルを繰り返し抽出し、nが大きい場合、サンプル平均の分布は平均=mu(y)と標準偏差=(sigma(y))/sqrt(n)である正規に近くなるというものです。

次の実験で、中心極限定理の影響を調べてみます。細工されていないさいころを1000回投げたとします。すべての目が出る回数はほぼ等しくなることが予想されます。この1000回の分布を確認しましょう。この分布はグラフ1に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

次に、さいころを2回投げてその2回の平均を求めます。この実験も1000回繰り返します。2回投げた平均の分布を確認しましょう。この分布はグラフ2に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

2回投げた平均の分布のみがすでに山型になっています。次に、さいころを3回投げてその3回の平均を求めます。この実験も1000回繰り返します。平均の分布がどのように変化したかを確認しましょう。この分布はグラフ3に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

この場合も、分布の形状は正規分布に非常に近くなっています。分布にその他の変化はあったでしょうか。

次はさいころを5回投げてその5回の平均を求めます。この実験も1000回繰り返します。この分布はグラフ4に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

変化パターンにお気づきでしょうか。

さいころを投げる回数を増やし続けます。今回はさいころを10回投げてその10回の平均を求めます。この分布はグラフ5に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

この時点で、投げる回数を増やすことで2つの現象が発生していることが分かります。1つ目は、平均の分布の形状が完全に正規分布の形状に近づいています。2つ目は、投げる回数を増やすたびに、分布はより狭くなっています。さいころを投げる回数をさらに増やしてみましょう。今回はさいころを20回投げます。この分布はグラフ6に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

すでにサンプルサイズの増加がサンプル平均の分布に及ぼす影響は十分に理解しているかと思います。最後にもう1度サンプルサイズを増やし、この理解が正しいことを確認します。今回はさいころを30回投げます。この分布はグラフ7に表示されています。

Enterキーを押して続行します。

これまでの結果を再確認しましょう。

サイズ2、5、10、20、30のサンプルを1つのプロットにまとめたヒストグラムを作成し、分布の変化を表示させます。

Enterキーを押して続行します。

中心極限定理は、理論的な結果を示しています。これを今回のシミュレーション結果と比較してみましょう。

Theoretical Results Observed Results ------------------- ---------------- Sample Standard Standard Size Mean Deviation Mean Deviation ------ ---- --------- ----- --------- 1 3.5 1.707825 3.453 1.7041 2 3.5 1.207615 3.527 1.2320 3 3.5 0.986013 3.546 0.9503 5 3.5 0.763763 3.481 0.7532 10 3.5 0.540062 3.506 0.5289 20 3.5 0.381879 3.510 0.3891 30 3.5 0.311805 3.507 0.3148 
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