1サンプルポアソン率の方法と計算式

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統計量

Minitabは、サンプルから次の記述統計量を生成します。平均が表示されるのは、「長さ」をデフォルト値1から変更した場合のみです。
用語説明
出現率
出現平均

率は、観測の長さの単位あたりの平均出現件数に等しくなります。平均は、サンプル全体の平均出現件数です。長さが1に等しい場合、率と平均は等しくなります。

正確検定のp値

計算式

1サンプルポアソン率の正確検定では、次の計算式を使用してそれぞれの対立仮説のp値を計算します。
  • H1: λ > λ0: p値 = P(Ss | λ = λ0)。ここで、Sは平均0tのポアソン分布。
  • H1: λ < λ0: p値 = P(Ss | λ = λ0)。ここで、Sは平均0tのポアソン分布。
  • H1: λλ0: Minitabは次のように尤度比検定を使用します。
    関数G(s)を定義します。この関数では、ポアソン工程に含まれる出現総数sに関して尤度比検定を表現します。
    • 0 ≤ s < 0tの場合、区間(0t, enλ0t]でyについて式G(y) = G(s)を解きます。

      p値 = P(Ss | λ = λ0) + P(Sy | λ = λ0)

    • s = 0tの場合、

      p値 = 1.00

    • 0t < senλ0tの場合、区間[0, 0t)でyについて式G(y) = G(s)を解きます。

      p値 = P(Sy | λ = λ0) + P(Ss | λ = λ0)

    • s > enλ0tの場合、検定は片側で、

      p値 = P(Ss | λ = λ0)となります

    ここで、Sは平均0tのポアソン分布です。

表記

用語説明
sポアソン工程内の出現総数
t観測の「長さ」
λ0母集団率パラメータの仮説値
λ母集団率パラメータの真の値
nサンプルサイズ
e(E)2.71828(近似値)

正確検定の信頼区間と信頼境界値

信頼区間

ポアソン工程の出現率の正確な100(1 – α)%信頼区間は次のように求められます。

「長さ」の値を指定すると、Minitabには平均出現数の信頼区間も表示されます。この信頼区間は次のように求められます。

信頼境界

片側検定を指定した場合、Minitabでは対立仮説の方向に従い、片側の100(1 – α)%信頼境界が計算されます。

  • 「次より大きい」対立仮説を指定した場合、率の正確な100(1 – α)%下限は次のように求められます。

    平均の正確な100(1 – α)%下限は次のように求められます。

  • 「次より小さい」対立仮説を指定した場合、率の正確な100(1 – α)%上限は次のように求められます。

    平均の正確な100(1 – α)%上限は次のように求められます。

表記

用語説明
sポアソン工程内の出現総数
t観測の「長さ」
λ母集団率の真の値
μ母平均の真の値
Χ2(p, x)自由度pのΧ2分布の上側x百分位数点(0 < x < 1)
α100(1–α)%信頼区間のα水準
nサンプルサイズ

正規近似法のp値

総出現数が10より大きい場合、正規近似法が有効です。

計算式

1サンプルポアソン率の正規近似に基づいた仮説検定では、それぞれの対立仮説について次のp値式を使用します。

表記

用語説明
Z
t 観測の「長さ」
λ 0 母集団率パラメータの仮説値
λ 母集団率パラメータの真の値
サンプル率統計量の観測値
n サンプルサイズ

正規近似の信頼区間と信頼境界

信頼区間

ポアソン工程の出現率の正規近似に基づいた100(1 – α)%信頼区間は次のように求められます。

「長さ」の値を指定すると、Minitabには平均出現数の信頼区間も表示されます。この信頼区間は次のように求められます。

信頼境界

片側検定を指定すると、Minitabでは対立仮説の方向に従い、片側の100(1 – α)%信頼境界が計算されます。
  • 「次より大きい」対立仮説を指定した場合、率の正確な100(1 – α)%下限は次のように求められます。

    「長さ」の値を指定すると、平均の正確な100(1-α)%下限は次のように求められます。

  • 「次より小さい」対立仮説を指定した場合、率の正確な100(1 – α)%上限は次のように求められます。

    「長さ」の値を指定した場合、平均の正確な100(1 – α)%上限は次のように求められます。

表記

用語説明
sポアソン工程内の出現総数
t観測の「長さ」
λ母集団率の真の値
μ母平均の真の値
Zx標準正規分布のx番目の上側百分位数点(0 < x < 1)
α100(1–α)%信頼区間のα水準
サンプル内の平均出現件数
nサンプルサイズ
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