二重指数平滑化の方法と計算式

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モデル方程式

二重指数平滑化では、各期間の水準成分とトレンド成分を1つずつ使用します。二重指数平滑化では、2つの重み値(平滑化パラメータとも呼ばれます)を使用して各期間の成分が更新されます。二重指数平滑化の方程式は次のとおりです。

計算式

Lt = α Yt + (1 – α) [Lt –1 + Tt –1]

Tt = γ [Lt Lt –1] + (1 – γ) Tt –1

= Lt –1 + Tt –1

最初の観測値に番号1を付す場合は、処理を進めるため、時間ゼロでの水準推定値とトレンド推定値を初期化する必要があります。使用する初期化方法により、平滑化値を取得する場合に使用されるのが、Minitabによって生成される最適な重み値なのか、またはユーザーが指定する重み値なのかが決まります。

表記

用語説明
Lt 時間tでの水準
α水準の重み値
Tt 時間tでのトレンド
γトレンドの重み
Yt 時間tでのデータ値
時間tでの適合値、または1ステップ先の予測

重み

最適ARIMAの重み

  1. Minitabでは、平方誤差の和を最小化するため、ARIMA (0,2,2)モデルをデータに当てはめます。
  2. その後、トレンド成分と水準水分が後向き予測によって初期化されます。

指定した重み

  1. Minitabでは、線形回帰モデルを、時系列データ(y変数)対時間(x変数)に当てはめます。
  2. この回帰から得られる定数は水準成分の初期推定値であり、傾き係数はトレンド成分の初期推定値です。

等根のARIMA(0,2,)モデルに対応する重みを指定すると、Holtの方法はBrownの方法に合わせて特化されます(1)。

予測

二重指数平滑化では、水準成分とトレンド成分を使用して予測値を生成します。時間tの時点よりm期間先の予測は、次のように計算されます。

計算式

Lt + mTt

予測原点時間までのデータが平滑化に使用されます。

表記

用語説明
Lt 時間tでの水準
Tt 時間tでのトレンド

予測限界

計算式

平均絶対偏差(MAD)に基づいています。上限と下限の計算式は次のようになります。
  • 上限 = 予測値 + 1.96 × dt × MAD
  • 下限 = 予測値 – 1.96 × dt × MAD

表記

用語説明
β max{α, γ)
δ1 – β
α水準平滑化定数
γトレンド平滑化定数
τ
b 0(T)
b 1(T)

MAPE

平均絶対パーセント誤差(MAPE)により、当てはめられた時系列値の精度を測定します。MAPEでは、精度をパーセントで表します。

計算式

表記

用語説明
yt 時間tでの実際の値
適合値
n 観測値数

MAD

平均絶対偏差(MAD)により、適合された時系列の値の精度を測定します。MADでは、精度がデータと同じ単位で表されるため、誤差の量を概念化するのに役立ちます。

計算式

表記

用語説明
yt 時間tでの実際の値
適合値
n 観測値数

MSD

平方平均偏差(MSD)は、モデルに関係なく、必ず同じ分母nを使用して計算されます。MSDは、MADよりも高感度な、異常に大きな予測誤差の測度です。

計算式

表記

用語説明
yt 時間tでの実際の値
適合値
n 観測値数
1 N.R. Farnum and L.W. Stanton (1989). Quantitative Forecasting Methods. PWS-Kent.
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