分布概要プロット(右打ち切り)における確率プロットの方法と計算式

確率プロット

確率プロットには、次の要素が含まれます。
  • プロット点 - 大きさの順に並べたデータセットの確率に対応する推定百分位数です。
  • 適合線 - パラメータの最尤推定値に基づいて分布で期待される百分位数です。
  • 信頼区間 - 百分位数の信頼区間です。

プロット点は特定の分布には依存しないので、どの確率プロットを作成した場合も、変換前であればプロット点は同じです。ただし、適合線は選択するパラメトリック分布によって異なります。したがって、確率プロットを使用して、特定の分布がデータにあてはまるかどうかを評価することができます。一般的に、点の位置が適合線に近ければ、適合度が高いといえます。

プロット点

確率プロットのプロット点は、時間t以前に製品が故障する可能性を表します。右打ち切りまたは打ち切りなしのデータの場合、次の方法でプロット点を計算します。
  • 中央値順位法(デフォルト)
  • 修正されたKaplan-Meier法
  • Herd-Johnson法
  • Kaplan-Meier法

データに同順位の故障時間(同一の故障時間)が含まれる場合、すべての点(デフォルト)、平均(中央値)、または同順位点の最大値のいずれかがプロットされます。同順位に故障や停止が含まれる場合、故障は停止より前に発生したものとみなされます。

これらの方法のそれぞれが、Ft)のノンパラメトリック推定値、故障までの時間であるランダム変数Tの累積分布関数を生成します。

観測値n個のサンプルの場合、x(1), x(2),..., x(n)と順番の統計値にするか、昇順にデータを並べます。そのとき、iは順番に並んだ観測値xI)のI番目の順位を示します。各方法の計算式は次のとおりです。

中央値順位(Benardの方法)

打ち切りなしデータの計算式

打ち切りありデータの計算式

修正されたKaplan-Meier

打ち切りなしデータの計算式

打ち切りありデータの計算式

Herd-Johnson推定

打ち切りなしデータの計算式

打ち切りありデータの計算式

Kaplan-Meier製品限界推定

最大観測値が打ち切りなしの場合、Kaplan-Meier法は、最大打ち切りなし観測値に対してp = 1の結果となります。このケースでは、最大観測値のKaplan-Meier推定は、プロットで使用できない数になります。この問題は、最大値ppと1の距離の90%として再計算することで訂正されます。

任意打ち切りのデータの場合、Turnbull法1を使用して累積確率が推定されます。

打ち切りなしデータの計算式

打ち切りありデータの計算式

表記

用語説明
i連続順位で指定された同順位を持つデータ点の順位
nデータに含まれる観測値の数
δj j番目の観測値が打ち切りの場合0、j番目の観測値が打ち切りなしの場合1になります
ARi
AR0=0
p'i

適合線

次の表は、適合線のx座標とy座標がどのように構築されているか示しています。次の内容に注意してください。
  • ワイブル分布、3-パラメータワイブル分布、指数分布、対数正規分布、または対数ロジスティック分布を使用している場合、対数尺度にx軸が変換されます。
  • デフォルトではパーセント尺度にy軸が変換されます。Y-スケールタイプを確率に変更する場合、y軸が確率尺度に変換されます。

分布 x座標 y座標
最小極値 故障時間 ln(–ln(1 – p))
ワイブル ln(故障時間) ln(–ln(1 – p))
3-パラメータワイブル ln(故障時間 – しきい値) ln(–ln(1 – p))
指数 ln(故障時間) ln(–ln(1 – p))
2-パラメータ指数 ln(故障時間 – しきい値) ln(–ln(1 – p))
正規 故障時間 Φ –1p
対数正規 ln(故障時間) Φ –1p
3-パラメータ対数正規 ln(故障時間 – しきい値) Φ –1p
ロジスティック 故障時間
対数ロジスティック ln(故障時間)
3-パラメータ対数ロジスティック ln(故障時間 – しきい値)

表記

用語説明
Φ –1 標準正規分布の逆累積分布関数(ICDF)
ln(xxの自然対数
1 B.W. Turnbull(1976)『The Empirical Distribution Function with Arbitrarily Grouped, Censored and Truncated Data』、Journal of the Royal Statistical Society, 38, 290-295.
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