判別分析の距離および判別関数

二乗距離

二乗マハラノビス距離~一般形

線形判別におけるグループtの観測値xとグループの中心(平均)との二乗距離(マハラノビス距離とも呼ばれる)は、次の一般形で求められます。

二乗マハラノビス距離~2次関数

2次判別関数におけるxからグループtまでの二乗マハラノビス距離は次のように計算します。

一般化平方距離~線形関数

線形判別関数におけるxからグループtの一般化された二乗距離は次のように計算されます。

一般化平方距離~2次関数

2次判別関数におけるxからグループtの一般化された二乗距離は次のように計算されます。

事後確率

グループtに属するxの事後確率は次のように計算されます。

線形判別スコア

線形判別スコアは次のように計算されます。

表記

用語説明
xこの観測値の予測変数の値を含む長さpの列ベクトル(この列ベクトルは1つの行として保存されます)
p予測変数の数
n合計観測数
tグループのサブスクリプト
ntグループtに含まれる観測値の数
qtグループtの事前確率(nt/nに等しい)
Sp線形判別分析の併合共分散行列
Si2次判別分析のグループiの共分散行列
mtグループtのデータから計算される予測変数の平均を含む長さpの列ベクトル
Stグループtの共分散行列
|St|Stの行列式

線形判別関数

線形判別関数は、重回帰分析の回帰係数に相当し、次のように計算します。

xが任意の場合、このルールでは、xを線形判別関数が最大のグループに割り当てます。

表記

用語説明
xこの観測値の予測変数の値を含む長さpの列ベクトル(この列ベクトルは1つの行として保存されます)
miグループiのデータから計算される予測変数の平均を含む長さpの列ベクトル
Sp併合共分散行列
ln piグループiの事前確率の自然対数

一般化平方距離

一般化平方距離は、2次距離の測度として使用され、次のように計算します。

表記

用語説明
xこの観測値の予測変数の値を含む長さpの列ベクトル(この列ベクトルは1つの行に保存されます)
miグループiのデータから計算される予測変数の平均を含む長さpの列ベクトル
Sp併合共分散行列f
ln piグループiの事前確率の自然対数

事後確率

事後確率は、データが与えられたグループiの確率で、次のように計算されます。

最大事後確率は、ln [pi fi (x)]の最大値と等しくなります。

(分布が正規分布の場合):
および

表記

用語説明
piグループiの事前確率
fi(x)グループiのデータの同時密度(母集団パラメータをサンプル推定値に置き換え)
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