混合計画を作成のすべての統計量

混合計画の作成で使用されるすべての統計量の定義と解釈について解説します。

成分

成分とは混合成分を構成する材料です。

解釈

実験計画(DOE)を実行すると、最適な混合(応答)が得られる各成分の相対比率を特定できます。混合実験は一般に食品加工業、精錬業、または製薬業などで使用されます。

たとえば、小麦粉、ベーキングパウダー、牛乳、卵、食用油からホットケーキミックスを開発したり、 4種類の化学原料を配合して殺虫剤を開発するような場合です。

プロセス変数

プロセス変数は、混合の一部ではないものの、応答に影響する可能性がある実験中の因子です。

解釈

応答は成分の相対的な比率とプロセス変数に依存するものと仮定されます。プロセス変数は、混合の一部ではない実験中の因子ではあるものの、応答に影響する可能性がある因子です。たとえば、ケーキの風味は、調理温度と調理時間、およびケーキ原料の比率に依存します。

計画点

計画点は、応答が測定される実験の条件です。

解釈

計画点が7つの3成分計画があるとします。この計画を使用して実験を1回実行すると、7種類の混合物の配合を作成し、各配合の応答を測定することになります。

計画次数

計画の度数は、計画空間における計画点の配置場所を決定します。このコンセプトを表す図は、混合計画を選択するを参照してください。

解釈

計画の度数により示される計画品質は、計画タイプにより異なります。
  • 単体重心計画の次数は、計画において何次元まで重心が含まれるかを示します。
  • 単体格子計画の次数は、計画空間の各限界値の計画点がどのように作成されるかを決定します。
  • 極頂点計画の次数は、計画において何次元まで重心が含まれるかを示します。
    • 計画の次数1では、頂点だけが指定されます。
    • 計画の次数2では、頂点と辺重心が指定されます。
    • 計画の次数3では、頂点、辺重心、および面重心が指定されます。

混合要素の合計

混合成分の合計は、実験に使われる混合成分の量を表します。つまり、成分の和は必ず混合成分の合計に等しくならなければなりません。

解釈

計画は比率で表すより、実際の測定値で表した方が適切な場合があります。たとえば、植物肥料を分析する計画では、成分比率よりグラムを採用した方が適切な場合があります。混合成分の合計の関数は、単一の合計値を使うか複数の合計値を使うかに応じて異なります。
  • 単一の合計値を使う場合、計画は成分の比率ではなく、単に実際の測定単位で表されます。
  • 複数の合計値を使う場合は、混合-量実験を行うことになります。混合-量実験では、応答は成分の比率および混合成分の量に依存すると仮定されます。たとえば、観葉植物の生長には、植物用肥料の量とその成分の比率が影響します。

各次元の限界値

各次元の限界値の数は、計画空間の複雑さ、すなわち計画空間を規定する頂点、辺、面などの数を示します。多くの場合、計画点は限界値の「コーナー」(頂点)または中央(辺または面)になります。

ヒント

混合計画の作成後に計画空間や計画点をグラフとして図示するには、単体計画プロットを作成します。

計画点の数

Minitabでは、各計画点タイプについて計画点の数が表示されます。計画点タイプ値の解釈は、計画が制約されているかどうかによって異なります。制約されていない計画では、すべての成分の比率は0~1の範囲になります。比率の範囲が限界値で制限されている場合、それは制約がある計画です。

制約されない計画の場合、通常、計画点タイプ値は混合にいくつの成分が含まれているかを示します。ただし、これには次の2つの例外があります。
  • タイプ0は中心点です。中心点は、すべての成分が等比率で含まれる配合に対応します。
  • タイプ-1は軸点です。軸点は、中心点と頂点の厳密な中間点に位置する特殊な完全配合です。
制約された計画の場合、計画点タイプの値は次の事柄を示します。
  • タイプ1は頂点です。頂点は、計画空間の「コーナー」に位置しています。
  • タイプ2は通常、計画空間の辺の中央に位置する点です。これらの点は、成分の比率が辺を定義する2つの頂点の平均比率に等しくなる配合に対応しています。
  • タイプ0は中心点です。中心点は、成分の比率がそれに対応する頂点比率の平均値に等しくなる配合に対応しています。
  • タイプ-1は軸点です。軸点は、成分の比率が中心点比率と頂点における比率の平均値に等しくなる配合に対応しています。

解釈

フォンデュの実験(18の計画点を持つ制約がある計画)には、8つの頂点、0個のエッジ点、2つの中心点、および8つの軸点があります。各計画点タイプに対する反復数は1(つまり、各計画点は1回だけ含まれる)であるため、計画点の総数は区別可能な点の数に等しくなります。

各タイプの計画点の数: 計画点タイプ 1 2 3 0 -1 個別の 8 0 0 2 8 反復 1 0 0 1 1 総数 8 0 0 2 8

混合成分の限界値

一部の混合実験では、成分の一部または全部について下限および上限またはそのいずれかを設定することが必要です。
  • 下限は、成分のいずれかが必ず混合成分として含まれなければならない場合に必要となります。たとえば、レモネードには必ずレモン果汁が含まれていなければなりません。
  • 上限は、混合物がある成分に与えられた比率より多くを含んではならない場合に必要になります。たとえば、ケーキミックスには5%を超えるベーキングパウダーを含めることはできません。

Minitabでは、量、比率、擬似成分の3つの単位で境界が示されます。これらの値が異なるかどうかは、混合成分の合計の値、および計画が制約されているかどうかによります。

解釈

フォンデュの実験の場合は混合成分の合計が1であるため、量と比率で表された限界値が等しくなります。この計画はゼロでない下限を持つため、擬似成分で表される限界値は量と比率で表される限界値と異なります。フォンデュデータの限界値は次のようになります。
  • エメンタール:フォンデュ中のエメンタールチーズ(成分A)の比率は、0.20000(20%)以上、0.60000(60%)以下でなければなりません。
  • グリュイエール:フォンデュ中のグリュイエールチーズの比率(成分B)は、0.30000(30%)以下でなければならず、最小量についての制限はありません(下限 = 0.00000)。
  • スープ: フォンデュ中のスープの比率(成分C)は、0.40000(40%)以上0.60000(60%)以下でなければなりません。
混合成分の限界値 量 比率 擬似成分 成分 下限 上限 下限 上限 下限 上限 A 0.20000 0.60000 0.20000 0.60000 0.00000 1.00000 B 0.00000 0.30000 0.00000 0.30000 0.00000 0.75000 C 0.40000 0.60000 0.40000 0.60000 0.00000 0.50000

線形制約

極頂点計画では、個別の成分に設定した限界に加え、成分のセットに対して最高10までの線形制約を指定できます。詳細は、混合計画における線形制約と成分限界の違いを参照してください。

線形制約が必要となる例を挙げてみましょう。ケーキミックスの液状成分(卵、牛乳、食用油)を合わせたものが、全混合の40%以上、60%以下になるように制約する必要があるとします。3つの成分を同量だけ使うとき、線形制約は、下限値が0.4、上限値が0.6、成分係数はすべて1となります。

解釈

フォンデュデータの場合、線形制約は次のように定義します。
  • 線形制約の下限値は0.00000。
  • エメンタールチーズの係数(A)は1.00000。
  • グリュイエールチーズの係数(B)は-1.00000。

この線形制約では、グリュイエールの量がエメンタールの量を超えてはなりません。

混合成分の線形制約 制限 下限 A B C 上限 1 0.00000 1.00000 -1.00000 0.00000

計画表

計画表は、各計画点について各計画変数に関する実験の条件または設定を示すものです。計画表はワークシートよりもスペースを取りませんので、制限されたスペースのレポートに役立ちます。

ヒント

混合計画の作成後に計画空間や計画点をグラフとして図示するには、単体計画プロットを作成します。

Minitabでは、実行数と計画点タイプが表示されます。計画点タイプに関する詳細は、このトピック内の「計画点の数」のセクションを参照してください。

列の最初の文字は成分とプロセス変数を表し、計画を作成したときに使用した順序に従います。表には各成分の比率または量が表示されます。Minitabでは、成分がT以外の英文字でラベルされます。
  • 各行の総量が1の場合、成分は比率で表されます。
  • 各行の総量が1でない場合、成分は量で表されます。
プロセス変数には、X1,... ,Xn(nはプロセス変数の数)とラベルが付けられます。プロセス変数の設定値は次のようにコード化単位で示されます。
  • -1は低水準を示します。
  • 1は高水準を示します。

総量が複数ある場合、「量」の列には各実行における混合量の合計が表示されます。

実験の実施時には、示された順序を使用して各実行の条件を決定します。

解釈

フォンデュの実験計画には3つの成分(エメンタールチーズ、グリュイエールチーズ、およびスープ)と、1つのプロセス変数(配膳温度)が含まれています。この実験の第1連では、次のことを行います。
  1. 次の比率で成分を混合する:
    • エメンタールチーズ(A): 0.20000
    • グリュイエールチーズ(B): 0.20000
    • スープ(C): 0.60000
  2. 配膳温度(X1)の低水準(-1)である80℃までフォンデュを加熱する。
  3. 試食結果の応答を測定する。
計画表 (ランダム化) 実行 タイプ A B C X1 1 1 0.20000 0.20000 0.60000 -1 2 1 0.20000 0.20000 0.60000 1 3 0 0.37500 0.12500 0.50000 1 4 1 0.30000 0.30000 0.40000 1 5 1 0.40000 0.00000 0.60000 -1 6 -1 0.33750 0.21250 0.45000 -1 7 -1 0.28750 0.16250 0.55000 1 8 -1 0.38750 0.06250 0.55000 1 9 -1 0.48750 0.06250 0.45000 1 10 1 0.30000 0.30000 0.40000 -1 11 -1 0.33750 0.21250 0.45000 1 12 -1 0.28750 0.16250 0.55000 -1 13 -1 0.48750 0.06250 0.45000 -1 14 1 0.40000 0.00000 0.60000 1 15 0 0.37500 0.12500 0.50000 -1 16 1 0.60000 0.00000 0.40000 1 17 -1 0.38750 0.06250 0.55000 -1 18 1 0.60000 0.00000 0.40000 -1
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