混合効果モデルを適合の方法

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混合効果モデルと対数尤度

混合効果モデルの一般形

混合効果モデルには、固定効果とランダム効果の両方が含まれます。混合効果モデルの一般形は以下になります。

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

表記

用語説明
y応答値のn x 1ベクトル
X固定効果項がpnの場合のn x p計画行列
β未知のパラメータのp x 1ベクトル
n x mi計画行列はモデル内のランダム項に対応
μi次から得られる独立変数のmi x 1ベクトル:N(0,)
ε次から得られる独立変数のn x 1ベクトル:N(0, )
n観測値数
pパラメータ数
cモデル内のランダム項の数

分散共分散行列

混合効果モデルの一般形のモデルの仮定に基づき、応答ベクトルyは、平均ベクトルの多変量正規分布となり、次の分散共分散行列を持ちます。

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

ここで

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2cは分散成分と呼ばれます。

分散から因数分解することで、混合効果モデルの対数尤度の計算部分にあるH(θ)の表現を見つけることができます。

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

表記

用語説明
θi誤差分散内のランダム項の分散の比率

対数尤度

モデルに変量因子が含まれる場合、未知のパラメータ推定値はデフォルトで、制限された対数尤度関数の負の値を2倍したものを最小化することで発生します。最小化は、制限された対数尤度関数の最大化と同じです。Minitabでは反復アルゴリズムを使って制限された対数尤度関数が最小化されます。最小化する関数は以下になります。

表記

用語説明
HIn + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|Hの行列式
H-1Hの逆行列
miランダム項の水準数
誤差の分散成分
Innの行と列を持つ恒等行列

制限付き最尤法(REML)の推定

デフォルトでは、制限付き尤度関数を最大にするパラメータ推定値が計算されますが、これは次の関数を最小にするのと同等です。
関数を最小にするために、βσ2、およびθiで関数が識別され、差分が0に設定されます。

ここで、

識別に関してパラメータ推定値を求めるために最初の2つの等式で代数を再配列すると、以下の等式になります。
導関数でに関しては。Minitabではニュートン法によりの推定が以下の手順で行なわれます。
  1. 分散成分の最小ノルム不偏推定(MINQUE)『1』『2』を使用して、σ2およびθiの初期値を構成します。
  2. βおよびσ2を次の値の計算式を用いて推定します。および.
  3. θiをニュートン法で特定し、L(β, σ2, θ)を最小にします。
  4. 手順2と3を収束に達するまで繰り返します。
収束したの解は分散比の推定値です。このときランダム項の分散成分は以下になります。

表記

用語説明
tr(·)行列の跡
X'Xの転置
1 Rao, C.R. (1971 a). Estimation of variance covariance components - MINQUE theory. Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.
2 Rao, C.R. (1971 b). 分Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456.
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