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Pour les fichiers de données complets et volumineux, l'estimation par les moindres carrés et la méthode EMaxV fournissent des résultats cohérents. Dans les applications de fiabilité, les fichiers de données sont généralement de petite taille ou de taille modérée. Des études de simulation approfondies montrent que, dans les petits plans d'échantillons comptant uniquement quelques défaillances, la méthode EMaxV est plus efficace que l'estimation par les moindres carrés.1 Par conséquent, la méthode d'estimation par défaut dans Minitab est l'EMaxV.
Lorsqu'il n'existe que peu de défaillances en raison d'une importante troncature des données, la méthode EMaxV utilise les informations de l'intégralité du fichier de données, y compris les valeurs tronquées. L'estimation par les moindres carrés ignore les informations dans les observations tronquées.1
En général, les avantages de la méthode EMaxV l'emportent sur ceux de l'estimation par les moindres carrés. L'estimation par les moindres carrés est plus facile à calculer manuellement et à programmer. Cette méthode est également traditionnellement associée à l'utilisation des diagrammes de probabilité pour l'évaluation de l'adéquation de l'ajustement. Toutefois, cette méthode peut produire des résultats trompeurs sur un diagramme de probabilité. Il existe des exemples où les points d'un diagramme de probabilité de Weibull qui utilise l'estimation par les moindres carrés suivent une droite lorsque le modèle de Weibull est réellement inapproprié.1
1. Genschel, U. and Meeker, W.Q. (2010). A Comparison of Maximum Likelihood and Median-Rank Regression for Weibull Estimation. Quality Engineering, 22(4): 236–255.
Dans les versions précédentes, Minitab fournissait des résultats calculés pour les erreurs types, les intervalles de confiance et les tests portant sur les paramètres de modèle lorsque vous utilisiez l'estimation par la méthode des moindres carrés. Ces résultats calculés étaient fondés sur une méthode ad hoc. Cependant, il n'existe aucune méthode statistique établie communément admise concernant le calcul des erreurs types pour les paramètres de modèle à l'aide de la méthode d'estimation par les moindres carrés. Par conséquent, si vous modifiez la méthode d'estimation par défaut et que vous sélectionnez Moindres carrés (temps de défaillance(X) sur rang(Y)), les résultats n'incluront pas les valeurs calculées pour les erreurs types, les intervalles de confiance et les tests des paramètres de modèle. Si vous souhaitez inclure des intervalles de confiance et des tests pour les paramètres de modèle dans vos résultats, vous devez utiliser la méthode EMaxV (par défaut).
Pour définir la méthode des moindres carrés comme méthode d'estimation des paramètres au lieu de celle du maximum de vraisemblance lorsque vous utilisez une analyse de répartition paramétrique, un diagramme d'identification de répartition ou un diagramme de présentation de répartition, procédez comme suit :
| Analyse | Bouton |
|---|---|
| Analyse de répartition paramétrique | Estimation |
| Diagramme d'identification de répartition | Options |
| Diagramme de présentation de répartition | Options |
Si vous utilisez la méthode d'estimation par les moindres carrés, les estimations sont calculées en ajustant une droite de régression aux points d'un diagramme de probabilité. La droite est établie en effectuant une régression de la durée avant défaillance ou du log (durée avant défaillance) (X) sur le pourcentage transformé (Y).
Les percentiles de la distribution étant basés sur les paramètres de distribution estimés, les différences dans les paramètres estimés produiront des différences dans les percentiles estimés.
Lorsque vous estimez les paramètres à l'aide de l'estimation par le maximum de vraisemblance, vous pouvez spécifier les valeurs initiales de l'algorithme et le nombre maximal d'itérations.
| Distribution | Paramètres |
|---|---|
| Weibull | Entrer la forme et l'échelle |
| Exponentiel | Entrer la moyenne |
| Autres distributions à 2 paramètres | Entrer l'emplacement et l'échelle |
| Exponentielle à 2 paramètres | Entrer l'échelle et le seuil |
| Weibull à 3 paramètres | Entrer la forme, l'échelle et le seuil |
| Autres distributions à 3 paramètres | Entrer l'emplacement, l'échelle et le seuil |
Minitab obtient les estimations du maximum de vraisemblance par un processus itératif. Si le nombre maximal d'itérations est atteint avant la convergence, l'exécution de l'algorithme s'arrête.
Vous pouvez utiliser l'une des méthodes d'estimation fournies avec les fonctions Analyse de répartition paramétrique (troncature à droite) et Analyse de répartition paramétrique (troncature arbitraire). Cependant, au lieu d'utiliser une estimation calculée par Minitab à l'aide de l'une de ces méthodes, vous pouvez également définir certains ou l'ensemble des paramètres. Si vous choisissez d'indiquer vous-même des paramètres, les résultats calculés (comme les percentiles) reposent sur les valeurs de paramètres saisies pour l'analyse.
Vous pouvez spécifier certains des paramètres de votre loi de distribution et demander à Minitab d'estimer les autres à partir des données. En général, vous estimez certains paramètres pour effectuer une analyse de Bayes lorsque les données ont peu ou pas de défaillances. Pour plus de détails, reportez-vous à la rubrique Comment effectuer une analyse de fiabilité avec peu ou pas de défaillances.
| Distribution | Paramètres que vous pouvez spécifier |
|---|---|
| Weibull | Forme |
| Weibull à 3 paramètres | Forme, seuil ou les deux |
| Exponentiel | Aucune |
| Exponentielle à 2 paramètres | Seuil |
| Autres distributions sans seuil | Echelle |
| Autres distributions avec seuil | Echelle, seuil ou les deux |
Vous estimez toujours le paramètre d'échelle pour la loi de Weibull. Pour les distributions ayant un paramètre d'emplacement, vous estimez toujours le paramètre d'emplacement.
Vous pouvez spécifier l'ensemble des paramètres au lieu de les estimer à partir des données. Vous pouvez spécifier les paramètres historiques pour, entre autres, comparer les estimations basées sur des paramètres historiques aux estimations basées sur des données actuelles, ou examiner comment les données en cours s'ajustent à un diagramme de probabilité basé sur les paramètres historiques.
| Distribution | Paramètres |
|---|---|
| Weibull | Entrer la forme et l'échelle |
| Exponentiel | Entrer la moyenne |
| Autres distributions à 2 paramètres | Entrer l'emplacement et l'échelle |
| Exponentielle à 2 paramètres | Entrer l'échelle et le seuil |
| Weibull à 3 paramètres | Entrer la forme, l'échelle et le seuil |
| Autres distributions à 3 paramètres | Entrer l'emplacement, l'échelle et le seuil |
Lorsque vous effectuez une analyse de répartition paramétrique, Minitab peut baser ses estimations sur un paramètre de forme ou d'échelle commun.
Minitab suppose un paramètre de forme ou d'échelle commun lors du calcul des estimations. Par exemple, supposons que vous ayez 2 (ou plus, en général k>2) échantillons indépendants distribués normalement avec des moyennes différentes, mais une même variance. Pour estimer la moyenne de chaque échantillon, Minitab utilise une estimation regroupée de la variance. Cette approche se généralise également pour d'autres lois. En revanche, le résultat spécifique dépend de la méthode d'estimation sélectionnée pour l'analyse.
Pour la méthode du maximum de vraisemblance, Minitab utilise le log de vraisemblance. Dans ce cas, la fonction du log de vraisemblance du modèle correspond à la somme des fonctions de log de vraisemblance individuelles ayant le même paramètre de forme. La fonction de log de vraisemblance globale obtenue est maximisée pour fournir les paramètres d'échelle associés à chaque groupe et le paramètre de forme commun. Pour en savoir plus, reportez-vous à la référence suivante : W. Nelson (1982). Applied Life Data Analysis, Chapter 12. John Wiley & Sons.
Minitab calcule d'abord les coordonnées x et y de chaque groupe (pour plus de détails, reportez-vous aux sections sur les points de diagramme et sur la droite d'ajustement dans la rubrique Méthodes et formules pour le diagramme de probabilité pour la fonction Analyse de répartition paramétrique (troncature à droite)). Ensuite, pour obtenir l'estimation par les moindres carrés, Minitab procède comme suit :
Pour les distributions log-emplacement-échelle (par exemple, Weibull), la transformation logarithmique doit être appliquée aux coordonnées X. Les groupes doivent avoir la même pente, soit l'inverse du paramètre de forme commun. Le paramètre de forme des groupes est obtenu par l'exponentiation de l'ordonnée à l'origine de chaque groupe.
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