Méthodes et formules pour la fonction Plans de contrôle par mesures (Créer/Comparer)

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Effectif d'échantillon et distance critique

Le calcul de l'effectif d'échantillon, n, et de la distance critique, k, dépend du nombre de limites de spécification indiquées et de la connaissance ou non de l'écart type.

Limite de spécification unique et écart type connu

L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :

La distance critique est obtenue par le calcul suivant :

où :

Notation

TermeDescription
Z1(1 – p1) * 100e percentile de la loi normale standard
p1niveau de qualité acceptable (NQA)
Z2(1 – p2) * 100e percentile de la loi normale standard
p2niveau de qualité rejetable (NQR)
Zα(1 – α) * 100e percentile de la loi normale standard
αrisque pour le client
Zβ(1 – β) * 100e percentile de la loi normale standard
βrisque pour le fournisseur

Limite de spécification unique et écart type inconnu

La notation est la même que dans la section relative aux cas impliquant une seule limite de spécification et un écart type connu. L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :

La distance critique est obtenue par le calcul suivant :

Limites de spécification doubles et écart type connu

La notation qui n'est pas définie ci-dessous est la même que dans la section relative aux cas impliquant une seule limite de spécification et un écart type connu. Minitab commence par calculer z :

Minitab recherche ensuite la valeur p* à partir de la loi normale standard, en étudiant la zone d'extrémité supérieure correspondant à z. Il s'agit de la probabilité minimale de défectueux en dehors de l'une des limites de spécification.

La méthode utilisée par Minitab pour le calcul de l'effectif d'échantillon et de la distance critique dépend de cette valeur p*.

Soit p1 = NQA, p2 = NQR

  • Si 2p* ≤ (p1/ 2), les deux spécifications sont relativement éloignées et les calculs suivent les plans à limite unique.
  • Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, les deux spécifications sont rapprochées mais encore assez éloignées pour que la probabilité minimale de défectueux puisse être obtenue pour certaines valeurs moyennes. Minitab réalise une itération pour obtenir l'effectif d'échantillon et la distance critique.

Soit

μ = μ0+ m * h, où h = σ/100

Soit m = 1, 2, ...300. Pour chaque valeur μ, calculez :

où Φ représente la fonction de répartition pour la loi normale standard. Si Prob (X<Inf) + Prob (X>Sup) est extrêmement proche de p1, Minitab utilise la valeur la plus élevée entre Prob (X<Inf) et Prob (X>Sup) pour obtenir l'effectif d'échantillon et le critère d'acceptation.

Si Prob (X<Inf) est la valeur la plus élevée, soit pInf = Prob (X<Inf).

L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :

La distance critique est obtenue par le calcul suivant :

où :

ZpInf = (1 – pInf)*100-ième percentile de la loi normale standard.

Si nous utilisons déjà toutes les valeurs m, mais que les probabilités correspondantes ne contiennent pas p1, alors la valeur p1 est trop élevée, ce qui signifie que la moyenne des mesures est très éloignée du point central de l'intervalle [Inf, Sup]. Dans ce cas, nous pouvons utiliser une méthode impliquant une seule limite de spécification et où ZpInf = Z1. La définition de Z1 est la même que dans le cas de figure impliquant une seule limite de spécification.

  • Si p1 < 2p* < p2, les spécifications du plan doivent être réexaminées, car la probabilité minimale de défectuosité déterminée par les deux limites de spécifications et les écarts type est supérieure au niveau de qualité acceptable p1. Vous pouvez rejeter le lot ou éventuellement utiliser un plan où la probabilité de défectuosité est légèrement supérieure à p1.
  • Si 2p* ≥ p2, le lot doit être rejeté, car la probabilité minimale de défectuosité déterminée par les deux limites de spécification et l'écart type est supérieure au niveau de qualité rejetable. Vous pouvez rejeter le lot sans tester de produits.

Notation

TermeDescription
Inflimite de spécification supérieure
Suplimite de spécification supérieure
σécart type connu

Limites de spécification doubles et écart type inconnu

La notation est la même que dans les sections précédente. Pour la distance critique, Minitab utilise la même valeur que dans le cas de deux plans distincts à une seule limite :
L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :
Si n > 2, Minitab calcule l'écart type maximal comme suit1.
  1. Soit
  2. Alors,
    où Bêta est la fonction de répartition d'une loi bêta avec les paramètres de forme a et b. Ici, .
  3. Définissez
  4. Puis,
    où Bêta-1 est la fonction de répartition inverse de la loi bêta définie à l'étape 2.

Si n ≤ 2, l'écart type maximal (MSD) est incalculable.

Probabilité d'acceptation

Soit p la probabilité de défectueux, ce qui correspond à la valeur de x d'un point d'une courbe Ceff.

Limite de spécification unique et écart type connu

Limite de spécification inférieure unique et écart type connu
Prob (X < Inf) = p.
Limite de spécification supérieure unique et écart type connu
Prob (X > Inf) = p.

Limite de spécification unique et écart type inconnu

Limites de spécification doubles et écart type connu

Minitab commence par calculer z

Minitab recherche ensuite la valeur p* à partir de la loi normale standard, en étudiant la zone d'extrémité supérieure correspondant à z. Il s'agit de la probabilité minimale de défectueux en dehors de l'une des limites de spécification.

La méthode utilisée par Minitab pour la probabilité d'acceptation dépend de cette valeur p*.

Soit p1 = NQA, p2 = NQR

  • Si 2p* ≤ (p1/ 2), les deux spécifications sont relativement éloignées et les calculs de l'effectif d'échantillon et de la distance critique suivent les plans à limite unique.
  • Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, les deux spécifications sont rapprochées mais encore assez éloignées pour que la probabilité minimale de défectueux puisse être obtenue pour certaines valeurs moyennes.

Pour toute valeur p donnée, Minitab recherche la moyenne μ des mesures à l'aide d'un algorithme de recherche par grille. Ainsi,

Limites de spécification doubles et écart type inconnu

Lorsque vous disposez des limites de spécification inférieure et supérieure, mais que vous ne connaissez pas l'écart type, Minitab utilise la courbe Ceff. pour que le plan à limite unique se rapproche des cas de limites de spécification doubles. La courbe Ceff. dérivée pour un plan à limite unique avec des valeurs p1, p2, α et β données est la limite inférieure de la bande de courbes Ceff. d'un plan de spécification bilatéral ayant les mêmes valeurs p1, p2, α et β, et qui dans la plupart des cas pratiques peut être utilisée comme courbe Ceff. pour le plan bilatéral. Voir Duncan1.

  1. Duncan (1986), Quality Control and Industrial Statistics, 5e édition.

Notation

TermeDescription
n effectif d'échantillon
kdistance critique
σécart type connu
Zp(1 - p)e percentile de la loi normale standard
Φfonction de répartition de la loi normale standard
T

suit une loi t non centrale avec n – 1 degrés de liberté, et le paramètre de non-centralité,

Llimite de spécification inférieure
Suplimite de spécification supérieure

Probabilité de rejet

La probabilité de rejet (Pr) décrit les chances de rejeter un lot particulier pour un plan d'échantillonnage et une proportion de défectueux entrante spécifiques. Pour la calculer, il suffit de soustraire la probabilité d'acceptation à 1.

Pr = 1 – Pa

où :

Pa = probabilité d'acceptation

Qualité moyenne après contrôle (QMAC)

La qualité moyenne après contrôle représente le niveau de qualité du produit après le contrôle. Elle varie en fonction du pourcentage de défectueux entrants.

Notation

TermeDescription
Paprobabilité d'acceptation
pproportion de défectueux entrants
Ntaille du lot
neffectif d'échantillon

Courbe de contrôle totale moyenne (CTM)

La moyenne des unités contrôlées (CTM) représente le nombre moyen d'unités qui seront contrôlées pour un niveau de qualité entrant et une probabilité d'acceptation particuliers.

Notation

TermeDescription
Paprobabilité d'acceptation
Ntaille du lot
neffectif d'échantillon

Zone d'acceptation

La zone d'acceptation est uniquement calculée lorsque les deux spécifications sont indiquées et que l'écart type est inconnu. Reportez-vous à la section sur l'effectif d'échantillon et la distance critique afin d'accéder respectivement à des définitions pour n et k, ainsi que pour connaître la notation utilisée dans les équations.

Sur le diagramme de zone d'acceptation, l'axe des x représente la moyenne d'échantillon et l'axe des y représente l'écart type d'échantillon. La zone d'acceptation est formée par trois fonctions de l'écart type d'échantillon et de la moyenne d'échantillon, auxquelles s'ajoute l'écart type maximal (MSD). Pour les moyennes d'échantillon auxquelles l'écart type d'échantillon est supérieur au MSD, le borne supérieure de la zone d'acceptation est le MSD.

Quand la moyenne est proche des limites de spécification, la zone d'acceptation est délimitée par les deux fonctions suivantes :

Quand la moyenne d'échantillon est proche du centre des limites de spécification, les coordonnées de la borne supérieure de la zone d'acceptation sont calculées comme suit :
  1. Soit .
  2. Alors où Bêta est la fonction de répartition d'une loi bêta avec les paramètres de forme a et b. Ici, ..
  3. Définissez des paires de proportions p01 et p02 qui satisfont l'équation p02 + p01 = p*
  4. Ensuite,
    où Bêta-1 est la fonction de répartition inverse de la loi bêta définie à l'étape 2.
  5. Pour , les coordonnées de la moyenne et de l'écart type sont fournies par les équations suivantes :
1 Duncan, A.J. (1986), Quality Control and Industrial Statistics (5e éd.), Homewood, Ill: Irwin.
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