Méthodes et formules pour les informations sur le modèle pour la fonction Analyser un plan factoriel

Matrice du plan

Minitab utilise la même approche de la matrice du plan que pour le modèle linéaire général, qui utilise la régression pour ajuster le modèle spécifié. Minitab crée d'abord une matrice du plan d'expériences à partir des facteurs et du modèle que vous spécifiez. Les colonnes de cette matrice, appelée X, représentent les termes du modèle.

La matrice du plan contient n lignes, où n est le nombre d'observations, ainsi que des colonnes correspondant aux termes du modèle. Les colonnes des termes sont dans l'ordre suivant dans la matrice du plan :
  1. Constante
  2. Covariables
  3. Blocs
  4. Facteurs
  5. Interactions
Les types de termes suivants ont une colonne chacun dans la matrice du plan :
  • Constante
  • Covariable
  • Facteur continu

Pour les blocs, le nombre de colonnes est égal au nombre de blocs moins un.

Facteurs de catégorie et interactions dans les plans à 2 niveaux

Dans un plan à 2 niveaux, le terme associé à un facteur de catégorie a une colonne. Chaque terme d'interaction a également une colonne.

Facteurs de catégorie dans les factoriels généraux

Dans un plan factoriel général, les facteurs de catégorie peuvent avoir plusieurs colonnes. Le nombre de colonnes est égal au nombre de niveaux moins un. Supposons que A soit un facteur avec 4 niveaux. Il a alors 3 degrés de liberté et son bloc contient 3 colonnes. Appelons ces colonnes A1, A2 et A3. Chaque ligne est codée de l'une des façons suivantes : 


Niveau de A A1 A2 A3
1 1 0 0
2 0 1 0
3 0 0 1
4 -1 -1 -1

Interactions dans les plans factoriels généraux

Pour calculer le nombre de colonnes correspondant à un terme d'interaction, multipliez les colonnes correspondantes associées aux facteurs de l'interaction. Par exemple, supposons que A comporte 6 niveaux, C 3 niveaux et D 4 niveaux. Le terme A*C*D aura 5 x 2 x 3 = 30 colonnes. Pour obtenir les niveaux, multipliez chaque colonne associée à A par chaque colonne associée à C, puis par chaque colonne associée à D.

Colonnes de sous-blocs dans les plans en parcelles divisées

Remarque

Minitab n'analyse pas les plans en parcelles divisées avec une réponse binaire.

Pour un plan en parcelles divisées, Minitab utilise deux versions de la matrice de plan. L'une est la même que celle utilisée pour n'importe quel plan factoriel à 2 niveaux. L'autre inclut un bloc de colonnes qui représente les sous-blocs. Le calcul du terme d'erreur des sous-blocs, par exemple, utilise cette seconde version de la matrice de plan. Les colonnes correspondant aux sous-blocs suivent celles des facteurs difficiles à changer et des interactions impliquant des facteurs difficiles à changer.

Effets

Effets estimés de chaque facteur. Les effets sont uniquement calculés pour les modèles à 2 niveaux, mais pas pour les modèles factoriels généraux. La formule de l'effet d'un facteur est la suivante :

Effet = Coefficient * 2

Coefficients (Coeff)

Estimations des coefficients de régression de population dans une équation de régression. Pour chaque facteur, Minitab calcule k - 1 coefficients, où k correspond au nombre de niveaux dans le facteur. Pour un modèle factoriel complet à 2 niveaux et à 2 facteurs, les formules des coefficients pour les facteurs et les interactions sont les suivantes :

L'erreur type du coefficient pour ce modèle factoriel complet à 2 facteurs et à 2 niveaux est la suivante :

Pour plus d'informations sur les modèles comportant plus de deux facteurs ou des facteurs avec plus de deux niveaux, reportez-vous à Montgomery1.

Notation

TermeDescription
moyenne de y au niveau supérieur du facteur A
moyenne globale de toutes les observations
moyenne de y au niveau supérieur du facteur B
moyenne de y aux niveaux supérieurs des facteurs A et B
CMEcarré moyen de l'erreur
nnombre de - 1 et de 1 (dans la matrice de covariance) pour le terme estimé

Transformation de Box-Cox

La transformation de Box-Cox sélectionne les valeurs lambda (comme indiqué ci-dessous) qui minimisent la somme des carrés des valeurs résiduelles. La transformation obtenue est Y λ lorsque λ ≠ 0, et ln(Y) lorsque λ = 0. Lorsque λ < 0, Minitab multiplie également la réponse transformée par −1 pour conserver l'ordre de la réponse non transformée.

Minitab recherche une valeur optimale entre −2 et 2. Les valeurs en dehors de cet intervalle sont susceptibles de ne pas fournir un meilleur ajustement.

Voici quelques transformations courantes dans lesquelles Y′ représente la transformation des données Y :

Valeur lambda (λ) Transformation
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0,5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Régression pondérée

La régression par les moindres carrés pondérée est une méthode permettant de traiter les observations qui présentent des variances non constantes. Si les variances ne sont pas constantes, attribuez :

  • des pondérations relativement faibles aux observations ayant des variances importantes
  • des pondérations relativement importantes aux observations ayant des variances faibles

Les pondérations sont généralement choisies comme l'inverse de la variance de l'erreur pure dans le réponse.

La formule pour les coefficients estimés est la suivante :
Cela revient à minimiser la valeur SC Erreur pondérée.

Notation

TermeDescription
Xmatrice du plan
X'transposition de la matrice de plan
Wmatrice n x n, avec les pondérations sur la diagonale
Yvecteur des valeurs de réponse
nnombre d'observations
wipondération pour l'ie observation
yivaleur de réponse pour l'ie observation
valeur ajustée pour l'ie observation
1 D.C. Montgomery (1991), Design and Analysis of Experiments, troisième édition, John Wiley & Sons.
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