Méthodes et formules pour l'analyse de la variance dans Analyser une réponse binaire pour un plan factoriel

Analyse de la variance

La somme des carrés d’écart mesure la différence entre le modèle actuel et le modèle complet. Le modèle complet est celui qui a n paramètres, soit un paramètre par observation. Il maximise la fonction de log de vraisemblance. Il fournit un point de comparaison pour les modèles ayant moins de n paramètres. Les comparaisons avec le modèle complet utilisent la somme des carrés d’écart mise à l'échelle.
L'équation suivante définit la contribution à la somme des carrés des écarts mise à l'échelle pour un modèle binomial :

Le tableau de la somme des carrés d'écart est fondé sur le résultat général suivant, qui suppose que ϕ est connu. Si DI représente la somme des carrés d'écart associée à un modèle d'origine et DS représente la somme des carrés d'écart associée à un sous-ensemble de termes du modèle d'origine, sous certaines conditions de régularité, la relation suivante existe :

La différence entre les sommes des carrés d'écart est dispersée de manière asymptotique comme une loi du Khi deux avec d degrés de liberté. Ces statistiques sont calculées pour l'analyse (type III) ajustée et l'analyse (type I) séquentielle. La somme des carrés d'écart ajustée et la statistique du Khi deux dans le tableau des sommes des carrés d'écart sont égales. La somme des carrés d'écart de la moyenne ajustée correspond à la somme des carrés d'écart ajustée divisée par les degrés de liberté.

Pour l'analyse séquentielle, les résultats dépendent de l'ordre de saisie des prédicteurs dans le modèle. Le prédicteur n'explique que la somme des carrés d'écart séquentielle, s'il existe déjà des prédicteurs dans le modèle. Si vous disposez d'un modèle avec trois prédicteurs (X1, X2 et X3), la somme des carrés d'écart séquentielle pour X3 indique l'influence de X3 dans la somme des carrés d'écart restante, étant donné que X1 et X2 sont déjà présents dans le modèle. Pour obtenir une somme des carrés d'écart séquentielle différente, répétez la procédure de régression en saisissant les prédicteurs dans un autre ordre.

Si ϕ est inconnu, comme pour les réponses qui suivent une loi normale, la relation varie sous certaines conditions de régularité, comme suit :

Dans le cas présent, la différence entre les sommes des carrés d'écart est dispersée de manière asymptotique sous forme de loi F avec d degrés de liberté pour le numérateur et n − p degrés de liberté pour le dénominateur. Pour estimer le paramètre de dispersion, utilisez le modèle d'origine.

Notation

TermeDescription
yinombre d'événements pour la ie ligne
réponse moyenne estimée de la ie ligne
 minombre d'essais pour la ie ligne
Lflog de vraisemblance du modèle complet
Lclog de vraisemblance du modèle avec un sous-ensemble de termes issus du modèle complet
dles degrés de liberté représentent la différence entre le nombre de paramètres dans les modèles à comparer
ϕparamètre de dispersion, qui est de 1 pour le modèle binomial
nnombre de lignes dans les données
pdegrés de liberté de la régression pour le modèle d'origine

Degrés de liberté (DL)

Indique le nombre d'informations indépendantes impliquant les données de réponse nécessaires au calcul des sommes des carrés d'écart de moyenne ajustées. Les degrés de liberté pour chaque composant du modèle sont les suivants :
Source de variation DL
Modèle p
Erreur np − 1
Total n − 1
Prédicteurs continus 1
Prédicteurs de catégorie q − 1
Blocs b − 1
Pour les interactions entre les facteurs, multipliez les degrés de liberté des facteurs du terme. Par exemple, si un modèle inclut un facteur A ayant 4 niveaux et un facteur B ayant 3 niveaux, l'interaction AB possède les degrés de liberté suivants :
Remarque

Pour les plans à deux niveaux avec des points centraux, le nombre de degrés de libertés pour la courbure est de 1.

Notation

TermeDescription
pSomme des degrés de liberté pour les prédicteurs. Les prédicteurs ne comprennent pas la constante.
nNombre de lignes dans le plan
qNombre de niveaux de prédicteur de catégorie
bNombre de blocs
aNombre de niveaux du facteur A
bNombre de niveaux du facteur B

Log de vraisemblance

Les fonctions de log de vraisemblance sont paramétrées dans les termes des moyennes. La forme générale des fonctions est la suivante :

La forme générale des contributions individuelles est la suivante :

L'équation suivante définit la forme spécifique des contributions individuelles pour le modèle binomial :

Notation

TermeDescription
yinombre d'événements pour la ie ligne
 minombre d'essais pour la ie ligne
réponse moyenne estimée de la ie ligne

valeur de p (P)

Utilisée dans les tests d'hypothèse pour vous aider à décider de rejeter ou non une hypothèse nulle. La valeur de p est la probabilité d'obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que la valeur réelle que vous avez calculée, si l'hypothèse nulle est vérifiée. Une valeur limite couramment utilisée pour la valeur de p est 0,05. Par exemple, si la valeur de p d'une statistique de test est inférieure à 0,05, rejetez l'hypothèse nulle.

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