Calcul de l'estimation ponctuelle de η1 - η2, de W et de la valeur de p pour le test de Mann-Whitney

Supposons que les données du premier échantillon (Ech1) soient 22, 24, 25, 29, 30 et que les données du deuxième échantillon (Ech2) soient 16, 21, 22, 23. Les résultats du test de Mann-Whitney sont les suivants :

Mann-Whitney : C1; C2

Méthode η₁: médiane de C1 η₂ : médiane de C2 Différence : η₁ - η₂
Statistiques descriptives Echantillon N Médiane C1 5 25,0 C2 4 21,5
Estimation de la différence IC pour la Confiance Différence différence atteinte 6 (-0,0000000; 13) 96,27%
Test Hypothèse nulle H₀ : η₁ - η₂ = 0 Hypothèse alternative H₁ : η₁ - η₂ ≠ 0
Valeur Valeur Méthode de W de P Non ajusté pour les nombres de même grandeur 33,50 0,050 Ajusté pour les nombres de même grandeur 33,50 0,049

Calcul de l'estimation ponctuelle

L'estimation ponctuelle pour η1 – η2 est la médiane de toutes les différences deux à deux possibles entre les deux échantillons.

Pour cet exemple, il existe 5*4 = 20 différences deux à deux. Les différences deux à deux possibles dans cet exemple sont : 22-16 = 6, 22-21 = 1, 22-22= 0, 22-23= −1, 8, 3, 2, 1, 9, 4, 3, 2, 13, 8, 7, 6, 14, 9, 8, 7.

Remarque

Vous pouvez obtenir toutes les différences deux à deux entre 2 colonnes dans Minitab en sélectionnant Stat > Tests non paramétriques > Différences deux à deux.

La médiane de ces différences est 6.

Calcul de W

W = (nombre de différences positives) + 0,5 (nombre de différences égales à 0) + 0,5 (n1(n1+1)) où n1 = nombre d'observations dans le premier échantillon.

Pour cet exemple, W = 18 + 0,5(1) + 0,5*5*6 = 18 + 0,5 + 15 = 33

Calcul de la valeur de p

La valeur de p est fondée sur la statistique de test pour W. La statistique de test, Z, (qui ne fait pas partie des résultats) est une approximation selon la loi normale utilisant la moyenne et la variance de W.

Moyenne de W = 0,5 (n1 (n1 + n2 + 1)) et Variance de W = n1*n2(n1+n2+1)/12, où n1 et n2 correspondent au nombre d'observations dans le premier et le deuxième échantillon, respectivement.

Z = (|W - moyenne de W| - 0,5)/racine carrée de la variance de W.

Remarque

La soustraction de 0,5 au numérateur correspond au facteur de correction de continuité.

La valeur de p pour Ha : η1 < η2 est CDF(Z). La valeur de p pour Ha : η1 > η2 est (1 - CDF(Z)). La valeur de p pour Ha : η1 ≠ η2 est 2*(1 - CDF(Z)). CDF est la probabilité cumulative d'une loi normale standard.

Pour cet exemple:
  • moyenne de W = 0,5*5(5+4+1) = 2,5*10 = 25
  • variance de W = 5*4(5+4+1)/12 = 20*10/12 = 200/12 = 16,6667

Z = (|33,5 - 25| - 0,5)/Racine carrée(16,6667) = 1,9596

La valeur de p pour Ha : η1 ≠ η2 est 2*(1 - 0,974979) = 0,05.

Remarque

Vous pouvez obtenir les probabilités cumulatives dans Minitab en sélectionnant Calc > Lois de probabilité > Normale.

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