Méthodes et formules pour la fonction Carte T²

Sélectionnez la méthode ou la formule de votre choix.

Points relevés

Données en sous-groupes

Lorsque les données sont réparties en sous-groupes, T2 est calculé comme suit :

où :

est le vecteur moyen de (moyenne des valeurs xjk), calculée comme suit :

S = matrice de covariance d'échantillon

La matrice de covariance d'échantillon, S, est calculée comme suit :

où :

où :

, la variance d'échantillon pour la je caractéristique dans le ke échantillon, est calculée comme suit :

où :

où :

, la covariance, =

La moyenne des matrices S est une estimation sans biais de la variance lorsque le procédé est maîtrisé. n doit être supérieur à p et il ne doit exister aucune corrélation forte entre les variables afin que la matrice de covariance d'échantillon ne soit pas singulière.

Observations individuelles

Lorsque les données sont des observations individuelles, T2 est calculé comme suit :

où :

où :

Notation

TermeDescription
n effectif d'échantillon
vecteur de moyenne d'échantillon
xijkie observation sur la je caractéristique dans le ke échantillon
mnombre d'échantillons

Exemple de calcul de la valeur T2

Minitab représente la statistique T quadratique sur une carte de contrôle. Si un point relevé est en dehors des limites de contrôle, le procédé n'est pas maîtrisé au niveau de ce point. Pour plus d'informations sur les calculs Minitab, reportez-vous au tableau et aux exemples d'échantillon.

Les données suivantes proviennent du procédé de développement d'une solution de nettoyage. La quantité de citrate de sodium et de glycérol a une incidence sur la puissance de la solution.

  Moyennes des sous-groupes Variances et covariances Statistique T2
Sous-groupe Citrate de sodium (X1) Glycérol (X2) S 1 2 S2 2 S 1 2 k T2
1 125 025 7292 8692 5791 5708
2 625 4 2292 2333 3333 1429
3 4 875 1467 0625 8000 9528
4 2 2 2933 7600 6667 8073
5 25 225 2500 2692 7917 7548
6 4 45 6667 9567 3333 2711
7 275 025 3692 4692 7108 7785
8 6 65 4333 7700 6933 6183
9 625 325 7892 5558 1325 3592
10 3 5 2867 9467 2600 4942
11 25 5 1767 1200 9000 3279
12 1 625 1467 1692 4033 0277
Moyennes 7875 2333 7931 9318 3003  
  1. Calculez les moyennes des sous-groupes pour chaque variable, X1 et X2. Dans ce cas, chaque sous-groupe avait quatre échantillons.
  2. Dans le cas d'observations individuelles, Minitab utilise ces valeurs à la place des moyennes des sous-groupes dans tous les calculs.
  3. Calculez les variances des sous-groupes, S1 2 et S2 2.
  4. Calculez les covariances des sous-groupes, S1 2 k.
  5. Calculez la moyenne des moyennes des sous-groupes, la moyenne des variances des sous-groupes et la moyenne des covariances.
  6. Indiquez la matrice S de covariance d'échantillon et le vecteur moyen.
  7. Calculez la valeur T2, qui est obtenue de la façon suivante :

Minitab représente les valeurs T2 sur la carte T2 et les compare avec les limites de contrôle pour déterminer si des points individuels sont hors contrôle.

Ligne centrale

La ligne centrale pour la carte T2 est KX. Le calcul de K et de X dépend de l'effectif d'échantillon maximal et de si Minitab estime la matrice de covariance à partir des données.

Données en sous-groupes

Lorsque les données sont réparties en sous-groupes, KX est calculé comme suit :

Matrice de covariance donnée
Matrice de covariance estimée

Observations individuelles

Lorsque les données sont des observations individuelles, KX est calculé comme suit :

Matrice de covariance donnée
Matrice de covariance estimée

où :

Notation

TermeDescription
Pnombre de variables
Mnombre de sous-groupes
N effectif d'échantillon
loi F de répartition inverse avec u degrés de liberté pour le numérateur et v degrés de liberté pour le dénominateur
loi bêta de répartition inverse où le premier paramètre de forme est α et le deuxième paramètre de forme est β

Limite de contrôle

Données en sous-groupes

Si vous n'indiquez pas de paramètres, la limite de contrôle supérieure est définie comme suit :

Si vous indiquez des paramètres, la limite de contrôle supérieure est définie comme suit :

Observations individuelles

Si vous n'indiquez pas de paramètres, la limite de contrôle supérieure est définie comme suit :

où :

Reportez-vous à Woodall et al.1 pour plus d'informations.

Si vous indiquez des paramètres, la limite de contrôle supérieure est définie comme suit :

Notation

TermeDescription
αvaleur fixée de 0,00134989803156746
pnombre de caractéristiques
m

Pour les données en sous-groupes, si vous n'indiquez pas d'estimation des paramètres, m est le nombre d'échantillons. Si vous indiquez des estimations des paramètres, m est le nombre d'échantillons utilisés pour créer la matrice de covariance.

Pour les données individuelles, m est le nombre d'observations.

neffectif de chaque échantillon
Findique que la loi F est utilisée
Bindique que la loi bêta est utilisée

Statistique quadratique T2 décomposée

Statistique quadratique T2 décomposée :

où :

où :

xi(p − 1) est le vecteur moyen décomposé

Sxx est la sous-matrice principale (p – 1) × (p – 1) de S

T2p|1,..., p−1 est une approximation qui varie selon les phases et selon le fait que vous disposiez de sous-groupes ou d'observations individuelles :

Phase 1 pour les données en sous-groupes

Phase 2 pour les données en sous-groupes

Phase 1 pour les observations individuelles

Phase 2 pour les observations individuelles

Minitab calcule les limites de contrôle pour la phase 1 lorsque vous n'indiquez pas d'estimation des paramètres, et les limites de contrôle pour la phase 2 lorsque vous en indiquez.

Pour plus d'informations sur la statistique quadratique T2 décomposée, reportez-vous à Mason et al.2

Notation

TermeDescription
mnombre d'échantillons
Findique que la loi F est utilisée
Bindique que la loi bêta est utilisée

Méthodes et formules pour Box-Cox

Formule de Box-Cox

Si vous utilisez une transformation de Box-Cox, Minitab transforme les valeurs de données d'origine (Yi) conformément à la formule suivante :

λ est le paramètre de transformation. Minitab crée ensuite une carte de contrôle des valeurs de données transformées (Wi). Pour découvrir comment Minitab choisit la valeur optimale pour λ, accédez à Méthodes et formules pour la fonction Transformation de Box-Cox.

Valeurs courantes de λ

Le tableau suivant présente certaines valeurs courantes de λ et les transformations associées.
λ Transformation
2
0,5
0
−0,5
−1
1 J. H. Woodall et W.H. Sullivan (1996), "A Comparison of Multivariate Control Charts for Individual Observations", Journal of Quality Technology, 28 avril, 398-408.
2 R. L. Mason, N. D. Tracy, and J. C. Young. (1995). "Decomposition of T 2 for Multivariate Control Chart Interpretation," Journal of Quality Technology , 27, April, 99-108.
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