Méthodes et formules pour la fonction Plans de contrôle par mesures (Créer/Comparer)

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Effectif d'échantillon et distance critique

Le calcul de l'effectif d'échantillon, n, et de la distance critique, k, dépend du nombre de limites de spécification indiquées et de la connaissance ou non de l'écart type.

Limite de spécification unique et écart type connu

L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :

La distance critique est obtenue par le calcul suivant :

où :

Limite de spécification unique et écart type inconnu

L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :

La distance critique est obtenue par le calcul suivant :

L'écart type est calculé à partir des données d'échantillon :

Limites de spécification doubles et écart type connu

Minitab commence par calculer z :

Minitab recherche ensuite la valeur p* à partir de la loi normale standard, en étudiant la zone d'extrémité supérieure correspondant à z. Il s'agit de la probabilité minimale de défectueux en dehors de l'une des limites de spécification.

La méthode utilisée par Minitab pour le calcul de l'effectif d'échantillon et de la distance critique dépend de cette valeur p*.

Soit p1 = NQA, p2 = NQR

  • Si 2p* ≤ (p1/ 2), les deux spécifications sont relativement éloignées et les calculs suivent les plans à limite unique.
  • Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, les deux spécifications sont rapprochées mais encore assez éloignées pour que la probabilité minimale de défectueux puisse être obtenue pour certaines valeurs moyennes. Minitab réalise une itération pour obtenir l'effectif d'échantillon et la distance critique.

Soit

μ = μ0+ m * h, où h = σ/100

Soit m = 1, 2, ...300. Pour chaque valeur μ, calculez :

où Φ représente la fonction de répartition pour la loi normale standard. Si Prob (X<Inf) + Prob (X>Sup) est extrêmement proche de p1, Minitab utilise la valeur la plus élevée entre Prob (X<Inf) et Prob (X>Sup) pour obtenir l'effectif d'échantillon et le critère d'acceptation.

Si Prob (X<Inf) est la valeur la plus élevée, soit pInf = Prob (X<Inf).

L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :

La distance critique est obtenue par le calcul suivant :

où :

ZpInf = (1 – pInf)*100e percentile de la loi normale standard

  • Si p1 < 2p* < p2, les spécifications des plans doivent être réexaminées, car la probabilité minimale de défectueux déterminée par les deux limites de spécifications et les écarts type est supérieure au niveau de qualité acceptable p1. Examinez un plan dont la probabilité de défectueux est légèrement supérieure à p1.
  • Si 2p* ≥ p2, le lot doit être rejeté. La probabilité de défectueux minimale déterminée par les deux limites de spécification et l'écart type est supérieure au niveau de qualité rejetable. Vous pouvez rejeter le lot sans tester de produits.

Limites de spécification doubles et écart type inconnu

D'abord, Minitab utilise la distance critique en tant que valeur, comme indiqué dans le cas de deux plans à limite unique distincts :

Minitab recherche ensuite la zone de l'extrémité supérieure de la loi normale standard, p*, correspondant à k en tant que percentile, puis le percentile Zp** de la loi normale standard correspondant à la zone d'extrémité supérieure de p*/2.

L'écart type maximal (MSD) est calculé comme suit :

L'écart type estimé est calculé de la façon suivante :

Minitab réalise des tests afin de déterminer si l'écart type estimé, s, est inférieur ou égal à la valeur MSD.

Si l'écart type estimé, s, est inférieur ou égal à la valeur MSD :

L'effectif d'échantillon est obtenu par le calcul suivant :

La distance critique est obtenue par le calcul suivant :

Si l'écart type estimé, s, n'est pas inférieur ou égal à la valeur MSD, cela signifie que l'écart type est trop élevé pour être cohérent avec les critères d'acceptation et que vous devez rejeter le lot.

Notation

TermeDescription
Z1(1 – p1) * 100e percentile de la loi normale standard
p1Niveau de qualité acceptable (NQA)
Z2(1 – p2) * 100e percentile de la loi normale standard
p2Niveau de qualité rejetable (NQR)
Zα(1 – α) * 100e percentile de la loi normale standard
Zβ(1 – β) * 100e percentile de la loi normale standard
Xiième mesure
moyenne des mesures véritables
Inflimite de spécification inférieure
Suplimite de spécification supérieure
σécart type connu

Probabilité d'acceptation

Soit p la probabilité de défectueux, ce qui correspond à la valeur de x d'un point d'une courbe Ceff.

Limite de spécification unique et écart type connu

Limite de spécification inférieure unique et écart type connu
Prob (X < Inf) = p.
Limite de spécification supérieure unique et écart type connu
Prob (X > L) = p.

Limite de spécification unique et écart type inconnu

Limites de spécification doubles et écart type connu

Minitab commence par calculer z

Minitab recherche ensuite la valeur p* à partir de la loi normale standard, en étudiant la zone d'extrémité supérieure correspondant à z. Il s'agit de la probabilité minimale de défectueux en dehors de l'une des limites de spécification.

La méthode utilisée par Minitab pour la probabilité d'acceptation dépend de cette valeur p*.

Soit p1 = NQA, p2 = NQR

  • Si 2p* ≤ (p1/ 2), les deux spécifications sont relativement éloignées et les calculs de l'effectif d'échantillon et de la distance critique suivent les plans à limite unique.
  • Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, les deux spécifications sont rapprochées mais encore assez éloignées pour que la probabilité minimale de défectueux puisse être obtenue pour certaines valeurs moyennes.

Pour toute valeur p donnée, Minitab recherche la moyenne μ des mesures à l'aide d'un algorithme de recherche par grille. Ainsi,

Limites de spécification doubles et écart type inconnu

Lorsque vous disposez des limites de spécification inférieure et supérieure, mais que vous ne connaissez pas l'écart type, Minitab utilise la courbe Ceff. pour que le plan à limite unique se rapproche des cas de limites de spécification doubles. La courbe Ceff. dérivée pour un plan à limite unique avec des valeurs p1, p2, α et β données est la limite inférieure de la bande de courbes Ceff. d'un plan de spécification bilatéral ayant les mêmes valeurs p1, p2, α et β, et qui dans la plupart des cas pratiques peut être utilisée comme courbe Ceff. pour le plan bilatéral. Voir Duncan1.

  1. Duncan (1986), Quality Control and Industrial Statistics, 5e édition.

Notation

TermeDescription
n effectif d'échantillon
kdistance critique
σécart type connu
Zp(1 - p)e percentile de la loi normale standard
Φfonction de répartition de la loi normale standard
T

suit une loi t non centrale avec n – 1 degrés de liberté, et le paramètre de non-centralité,

Inflimite de spécification inférieure
Suplimite de spécification supérieure

Probabilité de rejet

La probabilité de rejet (Pr) décrit les chances de rejeter un lot particulier pour un plan d'échantillonnage et une proportion de défectueux entrante spécifiques. Pour la calculer, il suffit de soustraire la probabilité d'acceptation à 1.

Pr = 1 – Pa

où :

Pa = probabilité d'acceptation

Méthode pour accepter ou rejeter un lot

Minitab calcule une décision d'acceptation ou de rejet à partir des mesures issues des éléments échantillonnés et des critères (distance critique et effectif de l'échantillon) de votre plan de contrôle par mesures.

Minitab calcule dans un premier temps la moyenne et l'écart type de vos données (dans le cas où vous n'avez pas indiqué d'écart type historique) :

Moyenne
Ecart type
Critères d'acceptation
Remarque

Minitab utilise σ au lieu de s dans les calculs de Z lorsque vous indiquez un écart type historique.

  • Si les deux spécifications sont indiquées, les valeurs de Z de chaque spécification sont calculées. Vous pouvez accepter le lot si Z.LSI ≥ k et Z.LSS ≥ k, sinon rejetez-le.
  • Si seule une spécification est indiquée, la valeur Z correspondante est calculée. S'il s'agit uniquement d'une spécification inférieure, acceptez le lot si Z.LSI ≥ k, sinon rejetez-le. S'il s'agit d'une spécification supérieure, acceptez le lot si Z.LSS ≥ k, sinon rejetez-le.

Notation

TermeDescription
Xidonnées mesurées
moyenne
sécart type estimé
σécart type connu
n effectif d'échantillon
kdistance critique
Inflimite de spécification inférieure
Suplimite de spécification supérieure

Qualité moyenne après contrôle (QMAC)

La qualité moyenne après contrôle représente le niveau de qualité du produit après le contrôle. Elle varie en fonction du pourcentage de défectueux entrants.

Notation

TermeDescription
Paprobabilité d'acceptation
pproportion de défectueux entrants
Ntaille du lot
neffectif d'échantillon

Courbe de contrôle totale moyenne (CTM)

La moyenne des unités contrôlées (CTM) représente le nombre moyen d'unités qui seront contrôlées pour un niveau de qualité entrant et une probabilité d'acceptation particuliers.

Notation

TermeDescription
Paprobabilité d'acceptation
Ntaille du lot
neffectif d'échantillon

Zone d'acceptation

La zone d'acceptation est uniquement calculée lorsque les deux spécifications sont indiquées et que l'écart type est inconnu.

Minitab détermine les coordonnées de la zone d'acceptation :

  • Recherchez la zone d'extrémité supérieure à partir de la valeur p* normale standard, correspondant à la distance critique en tant que percentile.
  • Soit p01 et p02 deux proportions, satisfaisant p02 + p01 = p* :

p01 = (p* / 100) * h

p02 = (p* / 100) * (100 - h)

Notation

TermeDescription
Inflimite de spécification inférieure
Suplimite de spécification supérieure
Zp01(1 - p01)* 100e percentile de la loi normale standard
Zp02(1 - p02)* 100e percentile de la loi normale standard
p01(p* / 100) * h
p02(p* / 100) * (100 – h)
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