Utilisations de la loi de Weibull pour modéliser les données de fiabilité

La loi de Weibull est la plus couramment utilisée pour la modélisation des données de fiabilité. Cette loi est simple à interpréter et a de nombreuses utilités. Dans l'analyse de fiabilité, cette loi permet de répondre aux questions suivantes :
  • Quel pourcentage d'éléments devraient connaître une défaillance au cours de la période de rodage ? Par exemple, quel pourcentage de fusibles devraient connaître une défaillance pendant la période de rodage de 8 heures ?
  • Combien de réclamations de garantie peuvent être attendues pendant la phase de vie utile ? Par exemple, combien de réclamations de garantie devraient-elles être soumises au cours de la vie utile de 50 000 miles de tel pneu ?
  • Quand l'usure rapide devrait-elle se produire ? Par exemple, à quel fréquence la maintenance doit-elle être planifiée afin que les moteurs n'entrent pas dans leur phase d'usure ?

La loi de Weibull permet de modéliser les données asymétriques à droite, à gauche ou symétriques. Par conséquent, elle est utilisée pour évaluer la fiabilité dans de nombreux domaines, notamment ceux des tubes électroniques, des condensateurs, des roulements à billes, des relais et de la résistance des matériaux. La loi de Weibull peut également modéliser une fonction de risque décroissante, croissante ou constante, ce qui permet de décrire toutes les phases de la durée de vie d'un objet.

La loi de Weibull peut être moins efficace pour les défaillances de produits dues à des réactions chimiques ou à un processus de dégradation comme la corrosion, comme cela peut être le cas avec les défaillances de semi-conducteurs. Généralement, ces types de situations sont modélisés à l'aide de la loi log-normale.

Loi de Rayleigh
Quand la loi de Weibull a un paramètre de forme de 2, elle est appelée loi de Rayleigh. Cette loi est fréquemment utilisée pour décrire les données de mesure dans le domaine de l'ingénierie des télécommunications, comme les mesures pour les pertes par réflexion à l'entrée, l'injection de bande latérale de modulation, la suppression d'une porteuse et l'évanouissement des radiofréquences. Cette loi est également utilisée lors du test de durée de vie des tubes à vide électroniques.
Modèle du maillon faible
La loi de Weibull permet également de modéliser la distribution de données de durée de vie dans lesquelles de nombreux processus identiques et indépendants entraînent une défaillance, et où le premier processus qui atteint un stade critique détermine la durée avant défaillance. La théorie des valeurs extrêmes est un élément fondamental du modèle de "maillon faible", où de nombreux défauts peuvent être à l'origine de la défaillance finale. Etant donné que la loi de Weibull peut être dérivée de la loi des plus petites valeurs extrêmes d'un point de vue théorique, elle peut également fournir un modèle efficace pour les cas de type "maillon faible" comme les défaillances en lien avec les condensateurs, les roulements à billes, les relais et la résistance des matériaux. Cependant, si la variable recherchée admet des valeurs négatives, la loi des plus petites valeurs extrêmes est plus adaptée, car la loi de Weibull peut uniquement modéliser des valeurs positives en raison de sa borne inférieure de 0.

Exemple 1 : Condensateurs

Des condensateurs sont testés à un niveau de contrainte élevé pour obtenir des données de défaillance (en heures). Les données de défaillance sont modélisées par une loi de Weibull.

Exemple 2 : Filaments

Une société fabriquant des ampoules produit des filaments à incandescence qui ne devraient pas s'user pendant une période prolongée d'utilisation normale. Les ingénieurs de la société souhaitent garantir le fonctionnement des ampoules sur 10 ans. Ils soumettent les ampoules à des contraintes afin de simuler une utilisation à long terme et enregistrent le nombre d'heures de fonctionnement de chaque ampoule avant défaillance.

Relation entre les paramètres de la loi de Weibull, les fonctions de fiabilité et les fonctions de risque

En ajustant le paramètre de forme β de la loi de Weibull, vous pouvez modéliser les caractéristiques de nombreuses lois de durée de vie différentes.

0 < ß < 1

Les défaillances précoces se produisent lors de la période initiale de la durée de vie du produit. Ces défaillances peuvent nécessiter une période de "rodage" du produit afin de réduire le risque de défaillance initiale.
Fonction de densité de probabilité

Diminution exponentielle à partir de l'infini

Fonction de risque

Taux de défaillance initialement élevé qui diminue avec le temps (première partie de la fonction de risque "en baignoire")

ß = 1

Le taux de défaillance reste constant. Défaillances aléatoires, défaillances aux causes multiples. Modélise la "durée de vie utile" du produit.
Fonction de densité de probabilité

Diminution exponentielle à partir de 1/α (α = paramètre d'échelle)

Fonction de risque

Taux de défaillance constant pendant la durée de vie du produit (deuxième partie de la fonction de risque "en baignoire")

ß = 1,5

Défaillance d'usure prématurée
Fonction de densité de probabilité

Augmente jusqu'à un pic, puis diminue

Fonction de risque

Augmentation du taux de défaillance, avec une croissance plus importante initialement

ß = 2

Le risque de défaillance d'usure augmente de façon constante au cours de la durée de vie du produit
Fonction de densité de probabilité

Loi de Rayleigh

Fonction de risque

Taux de défaillance avec augmentation linéaire

3 ≤ ß ≤ 4

Défaillances d'usure accélérée. Modélise la période finale de la vie d'un produit, où se produisent la plupart des défaillances.
Fonction de densité de probabilité

Forme de cloche

Fonction de risque

Augmente rapidement

ß > 10

Défaillances d'usure extrêmement accélérées. Modélise la période finale de la vie d'un produit, où se produisent la plupart des défaillances.
Fonction de densité de probabilité

Semblable à la loi des valeurs extrêmes

Fonction de risque

Augmentation très rapide

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