Utilisations de la loi des plus petites valeurs extrêmes pour modéliser les données de fiabilité

La loi des plus petites valeurs extrêmes est une distribution limite minimale d'une très grande collecte d'observations aléatoires issues de la même distribution arbitraire. Cette distribution est un modèle utile dans les cas où de nombreux procédés identiques et indépendants peuvent donner lieu à une défaillance et où le premier à présenter une défaillance détermine le temps de défaillance. Cela est souvent présenté comme le pire ou le plus faible des maillons.

Dans l'analyse de fiabilité, la loi des plus petites valeurs extrêmes permet de répondre aux questions suivantes :
  • Quel est le matériau qui résiste à la plus forte charge ?
  • Combien d'éléments devraient se rompre pendant la période de garantie ?
  • Quelle est la force minimale requise pour rompre un sac lorsque plusieurs tests de résistance sont effectués sur différentes parties de chaque pièce ?
  • Quel câble supporte le mieux une charge de 450 kg ?

La loi des plus petites valeurs extrêmes est souvent adaptée aux défaillances liées à la charge et à la résistance. Elle permet de modéliser les valeurs minimales. Lorsque vous utilisez cette loi, vous ne vous intéressez généralement pas à la distribution des variables décrivant la majorité de la population, mais uniquement aux valeurs extrêmes pouvant conduire à une défaillance. En d'autres termes, vous étudiez les imperfections de certains matériaux susceptibles de provoquer une contrainte non uniforme sous une charge. La résistance du matériau est donc liée à l'impact de l'imperfection provoquant la plus forte réduction de la résistance (maillon le plus faible).

La relation entre la loi des plus petites valeurs extrêmes et la loi de Weibull est semblable à celle entre la loi normale et la loi log-normale. En particulier, le log de base e d'une variable qui suit une loi de Weibull suit une loi des plus petites valeurs extrêmes.

En dépit de cette équivalence, les lois ne sont pas strictement interchangeables dans leur application. L'Institut national des normes et de la technologie (National Institute of Standards and Technology, NIST) recommande d'essayer d'utiliser la loi des plus petites valeurs extrêmes dans "toute application de modélisation dans laquelle la variable à tester constitue le minimum de nombreux facteurs aléatoires, l'intégralité de ces facteurs pouvant avoir une valeur positive ou négative".

Une application courante repose sur la panne diélectrique dans les condensateurs, où de nombreux défauts peuvent être à l'origine de défaillances. Autre exemple : celui des collages des semi-conducteurs, qui ne se rompent généralement pas, ni ne surchauffent dans les conditions de fonctionnement normal, sauf s'ils sont soumis à une charge électrique extrême ou à une résistance des collages extrêmement faible. De même, les tubes de liquide de refroidissement présentent une épaisseur minimale pour fournir un transfert thermique adéquat au liquide de refroidissement. Mais une défaillance se produit si les gaz de combustion chauds brûlent des "trous d'épingle" à un point quelconque sur les tubes.

Exemple 1 : Résistance de câbles

Des échantillons de câbles de même longueur sont soumis à des tests de résistance. Les résultats sont modélisés à l'aide de la loi des plus petites valeurs extrêmes.

Exemple 2 : Cycles jusqu'à la défaillance

Des ingénieurs soumettent un échantillon d'alliages à un total de 300 000 cycles. Ils mesurent le nombre de cycles jusqu'à la défaillance du produit.

Fonction de densité de probabilité et fonction de risque pour la loi de valeur extrême

Fonction de densité de probabilité

Pour la loi de valeur extrême, la fonction de densité de probabilité est généralement asymétrique vers la gauche.

Fonction de risque

La fonction de risque de la loi des plus petites valeurs extrêmes montre un risque de défaillance augmentant de façon exponentielle.

La fonction de risque montre que la loi des plus petites valeurs extrêmes est adaptée à la modélisation de la durée de vie d'un produit présentant une usure rapide à partir d'un certain stade. Cela comprend l'étape finale de la courbe "en baignoire", également appelée période d'usure.
En utilisant ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies à des fins d'analyse et de personnalisation du contenu.  Lisez notre politique