Que sont les plans de surface de réponse, les plans composites centrés et les plans de Box-Behnken ?

Qu'est-ce qu'un plan de surface de réponse ?

Un plan de surface de réponse est un ensemble de techniques de DOE (plan d'expériences) qui vous permettent de mieux comprendre et d'optimiser votre réponse. La méthodologie du plan de surface de réponse est souvent utilisée pour mettre au point des modèles suite à la détermination de facteurs importants à l'aide de plans de criblage ou de plans factoriels, notamment si vous soupçonnez une courbure dans la surface de réponse.

Surface de réponse sans courbure

Surface de réponse avec courbure

Une équation de surface de réponse se différencie de l'équation d'un plan factoriel par l'ajout de termes au carré (ou de termes quadratiques) qui vous permettent de modéliser une courbure dans la réponse et qui s'avèrent utiles de plusieurs manières :
  • Pour comprendre ou mapper une zone d'une surface de réponse. Les équations de surface de réponse modélisent l'influence des changements de variables d'entrée sur une réponse présentant un intérêt.
  • Pour rechercher les niveaux de variables qui optimisent une réponse.
  • Pour sélectionner les conditions d'utilisation conformément aux spécifications.

Par exemple, vous souhaitez déterminer les meilleures conditions pour le moulage de pièces de plastique par injection. Vous avez commencé par une expérience factorielle ou un plan de criblage pour déterminer les facteurs importants (température, pression, vitesse de refroidissement). Vous pouvez utiliser un plan d'expériences de surface de réponse pour déterminer les paramètres optimaux de chaque facteur.

Il existe deux principaux types de plans de surface de réponse :
Plans composites centrés
Les plans composites centrés peuvent ajuster un modèle quadratique complet. Ils sont souvent utilisés lorsque le plan demande une expérimentation séquentielle, car ces plans peuvent intégrer des informations provenant d'une expérience factorielle correctement planifiée.
Plans de Box-Behnken
Comme les plans de Box-Behnken comportent moins de points, leur coût est moindre que celui des plans composites centrés pour le même nombre de facteurs. Ils peuvent estimer efficacement les coefficients de premier et second ordre ; toutefois, ils ne peuvent pas inclure d'essais provenant d'un plan factoriel. Les plans de Box-Behnken comptent toujours 3 niveaux par facteur, contrairement aux plans composites centrés, qui peuvent en compter jusqu'à 5. De même, au contraire des plans composites centrés, les plans de Box-Behnken n'incluent jamais des essais dans lesquels l'ensemble des facteurs ont une valeur extrême, comme l'ensemble des valeurs faibles.

Qu'est-ce qu'un plan composite centré ?

Le plan composite centré est le plan de surface de réponse le plus utilisé. Les plans composites centrés comprennent un plan factoriel ou un plan factoriel fractionnaire avec des points centraux, auxquels s'ajoute un groupe de points axiaux (ou étoiles) qui permettent d'estimer la courbure. Vous pouvez utiliser un plan composite centré pour effectuer les opérations suivantes :
  • Estimer efficacement les termes des 1 et 2 ordres.
  • Modéliser une variable de réponse avec courbure en ajoutant des points centraux et axiaux à un plan factoriel précédemment exécuté.

Les plans composites centrés s'avèrent particulièrement utiles dans les expériences séquentielles, car vous pouvez souvent vous appuyer sur des expériences factorielles antérieures en ajoutant des points axiaux et centraux.

Par exemple, vous souhaitez déterminer les meilleures conditions pour le moulage de pièces de plastique par injection. Vous avez commencé par une expérience factorielle pour déterminer les facteurs importants : température (niveaux définis sur 190° et 210°) et pression (niveaux définis sur 50 MPa et 100 MPa). Si le plan factoriel détecte une courbure, vous pouvez utiliser un plan d'expériences de surface de réponse pour déterminer les paramètres optimaux de chaque facteur. Les points de plan ci-après caractérisent cette expérience.

210°, 50 MPa 214,1°, 75 MPa (point axial) 210°, 100 MPa
200°, 39,6 MPa (point axial) 200°, 110,4 MPa (point axial)
   
190°, 50 MPa 185,9°, 75 MPa (point axial) 190°, 100 MPa
Lorsque cela est possible, le plan composite centré possède les propriétés souhaitables en matière de blocage orthogonal et de rotation.
Blocs orthogonaux
Souvent, les plans composites centrés sont exécutés sous la forme de plusieurs blocs. Les plans composites centrés peuvent créer des blocs orthogonaux, permettant d'estimer les termes du modèle et les effets de blocs indépendamment et de minimiser la variation des coefficients de régression.
Rotation
Les plans pivotants présentent la variance de prédiction constante à tous les points équidistants du centre du plan.

Qu'est-ce qu'un plan à face centrée ?

Le plan à face centrée est un type de plan composite centré avec une valeur d'alpha de 1. Dans ce plan, les points axiaux se trouvent au centre de chaque face de l'espace factoriel ; par conséquent, les niveaux sont égaux à + 1. Ce type de plan requiert 3 niveaux de chaque facteur. L'ajout de points axiaux adaptés à un plan factoriel ou de résolution V existant permet également de générer ce plan.

Qu'est-ce qu'un plan de Box-Behnken ?

Un plan de Box-Behnken est un type de plan de surface de réponse qui ne contient pas un plan factoriel fractionnaire ou un plan factoriel imbriqué.

Par exemple, vous souhaitez déterminer les meilleures conditions pour le moulage de pièces de plastique par injection. Les facteurs que vous pouvez définir sont les suivants :
  • Température : 190° et 210°
  • Pression : 50 MPa et 100 MPa
  • Vitesse d'injection : 10 mm/s et 50 mm/s
Dans le cas d'un plan de Box-Behnken, les points du plan se situent à des combinaisons des niveaux de facteurs supérieur et inférieur et de leurs points centraux :
  • Température : 190°, 200° et 210°
  • Pression : 50 MPa, 75 MPa et 100 MPa
  • Vitesse d'injection : 10 mm/s, 30 mm/s et 50 mm/s

Les plans de Box-Behnken possèdent des combinaisons de traitement qui sont situées aux points centraux des bords de l'espace expérimental et qui requièrent au moins trois facteurs continus. L'illustration suivante montre un plan de Box-Behnken à trois facteurs. Les points sur le diagramme représentent les essais expérimentaux effectués :

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En effet, ces plans permettent une estimation efficace des coefficients de premier et de second ordre. Comme les plans de Box-Behnken comportent souvent moins de points, leur coût peut être moins élevé que celui des plans composites centrés pour le même nombre de facteurs. Toutefois, l'absence de plan factoriel imbriqué les rend inappropriés pour les expériences séquentielles.

Les plans de Box-Behnken peuvent également s'avérer utiles si vous connaissez la zone d'exploitation sécurisée de votre procédé. Les plans composites centrés possèdent généralement des points axiaux à l'extérieur du "cube." Ces points peuvent ne pas se situer dans la région à tester ou peuvent être impossibles à réaliser, car ils se situent au-delà des limites de sécurité. Les plans de Box-Behnken, en revanche, n'ont pas de points axiaux et vous pouvez donc être sûr que tous leurs points se situent dans la zone d'exploitation de sécurité. Ils garantissent également que tous les facteurs ne sont jamais simultanément à leur niveau maximum.

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