Méthodes et formules pour l'analyse de la variance dans Analyser un plan de criblage définitif

Somme des carrés ajustée

Les sommes des carrés ajustées ne dépendent pas de l'ordre dans lequel les termes sont entrés dans le modèle. La somme des carrés ajustée est la proportion de variation expliquée par un terme, en tenant compte de tous les autres termes du modèle, indépendamment de l'ordre dans lequel ils ont été entrés.

Par exemple, dans le cas d'un modèle possédant trois facteurs X1, X2, et X3, la somme des carrés ajustée pour X2 indique la proportion de la variation restante expliquée par le terme de X2, du fait que les termes de X1 et X3 figurent également dans le modèle.

Les calculs des sommes des carrés ajustées pour trois facteurs sont les suivants :

  • SCR (X3 | X1, X2) = SCE (X1, X2) - SCE (X1, X2, X3) ou
  • SCR (X3 | X1, X2) = SCR (X1, X2, X3) - SCR (X1, X2)

où SCR (X3 | X1, X2) est la somme des carrés ajustée pour X3, sachant que X1 et X2 figurent dans le modèle.

  • SCR (X2, X3 | X1) = SCE (X1) - SCE (X1, X2, X3) ou
  • SCR (X2, X3 | X1) = SCR (X1, X2, X3) - SCR (X1)

où SCR (X2, X3 | X1) est la somme des carrés ajustée pour X2 et X3, sachant que X1 figure dans le modèle.

Vous pouvez étendre ces formules si votre modèle contient plus de 3 facteurs1.

  1. J. Neter, W. Wasserman and M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Somme des carrés (SomCar)

Pour les termes de matrices, voici les formules pour les différentes sommes des carrés :

Minitab décompose la composante de modèle SomCar en indiquant la proportion de variation expliquée par chaque terme ou ensemble de termes, en utilisant à la fois la somme des carrés séquentielle et la somme des carrés ajustée.

Notation

TermeDescription
bvecteur des coefficients
Xmatrice du plan
Yvecteur des valeurs de réponse
nnombre d'observations
Jmatrice n sur n de 1s

Somme des carrés séquentielle

Minitab répartit la composante de variance du modèle SomCar en sommes des carrés séquentielles pour chaque terme de facteur ou ensemble de termes de facteurs. La somme des carrés séquentielle dépend de l'ordre dans lequel les facteurs ou les prédicteurs sont entrés dans le modèle. La somme des carrés séquentielle est l'unique partie du modèle SomCar que chaque terme explique, en fonction des termes saisis précédemment.

Par exemple, dans le cas d'un modèle possédant trois facteurs X1, X2 et X3, la somme des carrés séquentielle pour X2 indique la proportion de la variation restante expliquée par X2, du fait que X1 figure déjà dans le modèle. Pour obtenir une séquence de termes différente, répétez l'analyse et entrez les facteurs dans un autre ordre.

Degrés de liberté (DL)

Différentes sommes des carrés ont des degrés de liberté différents.

DL pour un facteur numérique = 1

DL pour un facteur de catégorie = b − 1

DL pour un terme quadratique = 1

DL pour les blocs = c − 1

DL pour l'erreur = n - p

DL pour l'erreur pure =

DL pour l'inadéquation de l'ajustement = m − p

DL total = n − 1

Pour les interactions entre les facteurs, multipliez les degrés de liberté des facteurs du terme. Par exemple, si les facteurs sont A et B, les degrés de liberté de l'interaction AB sont calculés comme suit :
Pour calculer les degrés de liberté d'un type de terme, additionnez les degrés de liberté des termes. Par exemple, si les facteurs sont A et B, les effets principaux dans le modèle ont le nombre suivant de degrés de liberté :
Remarque

Les facteurs de catégorie des plans de criblage dans Minitab comportent 2 niveaux. Ainsi, les degrés de liberté pour un facteur de catégorie sont 2 – 1 = 1. Par extension, les interactions entre les facteurs ont également 1 degré de liberté.

Notation

TermeDescription
bNombre de niveaux du facteur
cNombre de blocs
nNombre total d'observations
niNombre d'observations pour l'ie combinaison de niveaux de facteurs
mNombre de combinaisons de niveaux de facteurs
pNombre de coefficients

CM ajust - Modèle

Notation

TermeDescription
Moyenne de la variable de réponse
ie valeur ajustée de la réponse
pNombre de termes dans le modèle, terme de constante exclu

CM ajust - Terme

Le calcul du carré moyen (CM) pour le terme de modèle est le suivant :

CM ajust - Erreur

Le carré moyen de l'erreur (également abrégé en CM Erreur ou CME et noté s2) est la variance autour de la droite de régression. La formule est la suivante :

Notation

TermeDescription
yiie valeur de réponse observée
ième réponse ajustée
nnombre d'observations
pnombre de coefficients dans le modèle, constante non incluse

F

Le calcul de la statistique F dépend du test d'hypothèse, comme suit :

F(Terme)
F(Inadéquation de l'ajustement)

Notation

TermeDescription
CM ajust Termemesure de la variation expliquée par un terme après la prise en compte des autres termes du modèle
CM Erreurmesure de la variation non expliquée par le modèle
CM Inadéquation de l'ajustementmesure de la variation de la réponse qui peut être modélisée en ajoutant d'autres termes au modèle
CM Erreur puremesure de la variation des données de réponse répliquées
  1. J. Neter, W. Wasserman et M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, 2e édition. Irwin, Inc.

Valeur de p - Tableau d'analyse de la variance

La valeur de p est une probabilité calculée à partir d'une loi F avec des degrés de liberté (DL) comme suit :

DL en numérateur
somme des degrés de liberté pour le ou les termes du test
DL en dénominateur
degrés de liberté pour l'erreur

Formule

1 − P(Ffj)

Notation

TermeDescription
P(Ff)fonction de répartition de la loi F
fstatistique f pour le test

Valeur de p - Test d'inadéquation de l'ajustement

Cette valeur de p sert à tester l'hypothèse nulle selon laquelle les coefficients sont nuls pour tous les termes dont l'estimation est possible à partir des données absentes du modèle. La valeur de p est la probabilité issue d'une loi F avec des degrés de liberté (DL) comme suit :
DL en numérateur
degrés de liberté pour l'inéquation de l'ajustement
DL en dénominateur
degrés de liberté pour l'erreur pure

Formule

1 − P(Ffj)

Notation

TermeDescription
P(Ffj)fonction de répartition de la loi F
fjstatistique f pour le test
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