Méthodes et formules pour les informations sur le modèle pour la fonction Analyser la variabilité

Méthode

Minitab utilise deux méthodes pour analyser les écarts types des mesures de répétitions ou de répliques : par les moindres carrés et par le maximum de vraisemblance. Ces deux méthodes se fondent sur un modèle linéaire avec une fonction de liaison logarithmique : ln(σ) = Aγ, où A est la matrice du plan et γ un vecteur de paramètres à estimer. L'un des avantages de la fonction de liaison logarithmique est que les valeurs ajustées sont toujours positives.

Ces deux méthodes produisent des résultats équivalents dans le modèle saturé, lorsque le nombre de paramètres est égal au nombre de points de données.

Pour l'estimation par les moindres carrés, Minitab utilise la régression par les moindres carrés pondérée. Si le nombre de répétitions ou de répliques est identique, les pondérations sont égales.

Pour l'estimation par le maximum de vraisemblance, Minitab part du principe que les données initiales suivent une loi normale. La loi de distribution de la variance d'échantillon est associée à la loi du χ2.

Matrice du plan

Minitab utilise la même approche de la matrice du plan que pour le modèle linéaire général, qui utilise la régression pour ajuster le modèle spécifié. Minitab crée d'abord une matrice du plan d'expériences à partir des facteurs et du modèle que vous spécifiez. Les colonnes de cette matrice, appelée X, représentent les termes du modèle.

La matrice du plan contient n lignes, où n est le nombre d'observations, et plusieurs blocs de colonnes, correspondant aux termes du modèle. Le premier bloc correspond à la constante et ne contient qu'une colonne constituée uniquement de 1. Le bloc correspondant à un facteur continu contient une seule colonne également. Le bloc de colonnes correspondant à un facteur de catégorie contient r colonnes, où r est le nombre de degrés de liberté du facteur.

Par exemple, un plan factoriel fractionnaire comporte trois facteurs ayant 2 niveaux chacun. Le modèle comprend 3 effets principaux. Chaque ligne est codée de l'une des façons suivantes : 



Blocs Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3
1 −1 −1 −1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 1 1 −1
1 −1 −1 1
1 1 −1 1
1 −1 1 1
1 1 1 1

Effets

Effets estimés de chaque facteur. Les effets sont uniquement calculés pour les modèles à 2 niveaux, mais pas pour les modèles factoriels généraux. La formule de l'effet d'un facteur est la suivante :

Effet = Coefficient * 2

Coefficients (Coeff)

Estimations des coefficients de régression de population dans une équation de régression. Pour chaque facteur, Minitab calcule k - 1 coefficients, où k correspond au nombre de niveaux dans le facteur. Pour un modèle factoriel complet à 2 niveaux et à 2 facteurs, les formules des coefficients pour les facteurs et les interactions sont les suivantes :

L'erreur type du coefficient pour ce modèle factoriel complet à 2 facteurs et à 2 niveaux est la suivante :

Pour plus d'informations sur les modèles comportant plus de deux facteurs ou des facteurs avec plus de deux niveaux, reportez-vous à Montgomery1.

Notation

TermeDescription
moyenne de y au niveau supérieur du facteur A
moyenne globale de toutes les observations
moyenne de y au niveau supérieur du facteur B
moyenne de y aux niveaux supérieurs des facteurs A et B
CMEcarré moyen de l'erreur
nnombre de - 1 et de 1 (dans la matrice de covariance) pour le terme estimé

Régression pondérée

La régression par les moindres carrés pondérée est une méthode permettant de traiter les observations qui présentent des variances non constantes. Si les variances ne sont pas constantes, attribuez :

  • des pondérations relativement faibles aux observations ayant des variances importantes
  • des pondérations relativement importantes aux observations ayant des variances faibles

Les pondérations traduisent le nombre de répétitions ou de répliques utilisé pour calculer chaque écart type. Les écarts types calculés à partir de nombreuses données ont des pondérations plus élevées.

La formule pour les coefficients estimés est la suivante :
Cela revient à minimiser la valeur SC Erreur pondérée.

Notation

TermeDescription
X matrice du plan
X' transposition de la matrice de plan
W matrice n x n, avec les pondérations sur la diagonale
Y vecteur des valeurs de logarithme des écarts types
nnombre d'observations
wi pondération pour l'ie observation
yi valeur de logarithme de l'écart type pour l'ie observation
valeur ajustée du logarithme de l'écart type pour l'ie observation

Calcul des pondérations

Vous pouvez calculer et stocker les pondérations à l'aide des variances adaptées (adjusted) ou ajustées (fitted), selon le modèle de dispersion à utiliser lors de l'analyse du modèle d'emplacement.

Les pondérations des répliques, qui se fondent sur la variance ajustée (fitted), sont égales à la réciproque de la variance ajustée :
  • 1 / variance ajustée
Les pondérations des répétitions, qui se fondent sur la variance adaptée (adjusted), sont égales à la réciproque de la variance ajustée de la moyenne des répétitions. La variance de la moyenne des répétitions est calculée comme suit :
  • σ2 (entre) + σ2 (à l'intérieur) / nombre de répétitions

Les mentions "entre" et "à l'intérieur" font référence à un essai de l'expérience. La variation à l'intérieur d'un essai correspond à ce que vous mesurez avec l'écart type des observations de répétitions. La variation entre les essais fait référence aux autres sources de variation pour les nouveaux essais.

Lorsque vous analysez l'écart type des répétitions, vous ajustez un modèle à s (à l'intérieur). Si vos données comportent des répliques, Minitab combine le modèle pour σ2 (à l'intérieur) et la variance des moyennes des répliques pour obtenir une estimation de σ2 (entre). L'estimation de σ2 (entre) est ensuite combinée à nouveau avec σ2 (à l'intérieur) / Nombre de répétitions pour obtenir des estimations de la variance pour les moyennes qui sont compatibles avec votre modèle de dispersion.

Cette méthode suppose que la valeur de σ2 (entre) est constante et ne dépend pas des niveaux de facteurs. Si cette hypothèse n'est pas respectée, vous pouvez ajuster un modèle à la variance de x en utilisant le prétraitement des réponses avec pour obtenir la valeur de σ2 des répliques.

Si votre modèle comprend des covariables, vous devez en tenir compte dans la variance des répétitions. Vous ne pouvez pas rendre compte des covariables dans la variance ajustée.

1 D.C. Montgomery (1991), Design and Analysis of Experiments, troisième édition, John Wiley & Sons.
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