Demostración del teorema del límite central

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El Teorema del límite central indica que si se extraen muestras aleatorias de tamaño n una y otra vez de una población con una media, mu(y), y desviación estándar, sigma(y), finitas, entonces, cuando n es grande, la distribución de las medias de la muestra será aproximadamente normal con una media igual a mu(y), y una desviación estándar igual a (sigma(y))/sqrt(n).

Examinemos los efectos del Teorema del Límite Central con el siguiente experimento. Supongamos que usted lanza un dado justo 1000 veces. Usted esperaría obtener un número más o menos igual de 1, 2 y así sucesivamente. Examinemos la distribución de 1000 lanzamientos. Esto se muestra en la Grafica 1.

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Ahora supongamos que usted fuera a lanzar el dado dos veces y a sacar el promedio de los dos lanzamientos. También repetirá este experimento 1000 veces. Veamos cuál es la distribución de los promedios de dos lanzamientos. Esto se muestra en la Gráfica 2.

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¿Ha observado que solamente con dos lanzamientos la distribución de los promedios ya estaba tomando forma de montículo? Supongamos que ahora lanza el dado tres veces y toma el promedio de tres lanzamientos. De nuevo, repetirá este experimento 1000 veces. Veamos cuál es el efecto que tiene esto en la distribución de los promedios. Esto se muestra en la Gráfica 3.

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De nuevo, la forma de la distribución es bastante parecida a la de una distribución normal. ¿Observó si pasaba alguna otra cosa con la distribución?

Vamos a lanzar el dado cinco veces y saquemos el promedio. De nuevo, repetirá este experimento 1000 veces. Esto se muestra en la Gráfica 4.

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¿Empezó a observar ya algún patrón en lo que está sucediendo?

Sigamos aumentando el número de lanzamientos que estamos promediando. Esta vez, lanzará el dado 10 veces y obtendrá el promedio de los 10 lanzamientos. Esto se muestra en la Gráfica 5.

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Para este momento, usted debería observar dos fenómenos a medida que aumenta el número de lanzamientos. En primer lugar, debería ver que la forma de la distribución de los promedios ya está empezando a tomar la forma de una distribución normal. Segundo, debería ver que al aumentar el número de lanzamientos, la distribución se hace cada vez más estrecha. Sigamos aumentando el número de lanzamientos. Esta vez, lanzará el dado 20 veces. Esto se muestra en la Gráfica 6.

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En este momento, usted debería estar bien convencido de los efectos que el aumento del tamaño de la muestra tiene sobre la distribución de los promedios de las muestras. Usted aumentará el tamaño de la muestra una vez más para reforzar esta idea. Esta vez lanzará el dado 30 veces. Esto se muestra en la Gráfica 7.

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Revisemos lo que ha observado.

Usted dibujará los histogramas para las muestras de tamaño 2, 5, 10, 20 y 30 juntos en una sola gráfica para ver los cambios en la distribución.

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El Teorema del límite central nos dice lo que usted debería haber visto, teóricamente. Comparemos esto con lo que usted realmente observó:

Theoretical Results Observed Results ------------------- ---------------- Sample Standard Standard Size Mean Deviation Mean Deviation ------ ---- --------- ----- --------- 1 3.5 1.707825 3.453 1.7041 2 3.5 1.207615 3.527 1.232 3 3.5 0.986013 3.546 0.9503 5 3.5 0.763763 3.481 0.7532 10 3.5 0.540062 3.506 0.5289 20 3.5 0.381879 3.51 0.3891 30 3.5 0.311805 3.507 0.3148