Métodos para Pronóstico con el mejor modelo ARIMA

Pronóstico con el mejor modelo ARIMA compara muchos modelos y selecciona un modelo final con un criterio en las especificaciones del análisis. Para obtener información sobre los resultados del modelo ARIMA final, vaya a Métodos y fórmulas para la ARIMA. Las secciones siguientes contienen detalles que son exclusivos de Pronóstico con el mejor modelo ARIMA.

Selección del modelo

La selección del modelo utiliza los siguientes pasos:

Estimar los parámetros del modelo para cada modelo. Si un modelo incluye una constante y la estimación de los parámetros falla, intente estimar los parámetros sin el término constante.
Calcular el criterio de información para cada modelo. El criterio predeterminado es el Criterio de información de Akaike (AICc) corregido.
Producir resultados para el modelo con el mejor valor del criterio de información.

En las secciones siguientes se describen detalles que difieren en la selección de modelos no estacionales y estacionales.

Modelos no estacionales

Las especificaciones para el análisis contienen el orden de diferenciación. Para el pedido especificado, el proceso evalúa todas las combinaciones de los pedidos autorregresivos y de media móvil en las especificaciones para el análisis con las siguientes restricciones:

Cuando se ajustan modelos con un término constante, los modelos candidatos tienen p + q ≤ 9.
Cuando se ajustan modelos sin un término constante, los modelos candidatos tienen p + q ≤ 10.
Los modelos con d = 2 nunca incluyen un término constante.
El modelo evalúa ARIMA(0, d, 0) sólo cuando d = 1.

Modelos de temporada

Las especificaciones para el análisis contienen los órdenes de diferenciación no estacional y estacional. Para los pedidos especificados, el proceso evalúa todas las combinaciones de pedidos autorregresivos y de media móvil estacionales y no estacionales con las siguientes restricciones:

Cuando se ajustan modelos con un término constante, los modelos candidatos tienen p + q + P + Q ≤ 9.
Cuando se ajustan modelos sin un término constante, los modelos candidatos tienen p + q + P + Q ≤ 10.
Los modelos con d + D > 1 nunca incluyen un término constante.
La búsqueda de un modelo estacional requiere el orden de al menos uno de los parámetros estacionales para poder ser mayor que 0. La búsqueda incluye modelos no estacionales si las especificaciones para la búsqueda incluyen modelos donde todos los parámetros estacionales tienen órdenes de 0.
Al menos 1 de p, q, P y Q es distinto de cero en cada modelo.

Criterios

Para evaluar los modelos ARIMA con los mismos órdenes de diferenciación, el análisis utiliza 1 de 3 criterios de información:

Criterio de información de Akaike (AIC)
Criterio de información de Akaike corregido (AICc)
Criterio de información Bayesiana (BIC)

El cálculo de los criterios de información para un modelo utiliza el valor de probabilidad logarítmica para el modelo. El cálculo del valor de logaritmos-probabilidad utiliza un algoritmo recursivo. Para obtener más información, consulte la sección 8.6 de Brockwell & Davis (1991)¹.

Notación

Término	Description
k	El número de parámetros en el modelo Para un modelo estacional con una constante, k = p + q + 2 Para un modelo estacional sin una constante, k = p + q + 1 Para un modelo estacional con una constante, k = p + q + P + Q + 2 Para un modelo estacional sin una constante k = p + q + P + Q + 1
L_c	la log-verosimilitud del modelo actual
n	el tamaño de la muestra de la serie temporal

Transformación de Box-Cox

El análisis permite una transformación Box-Cox de los datos. La transformación de los datos se produce antes de la selección del modelo. Para obtener información sobre la transformación de Box-Cox para datos de series temporales, vaya a Métodos y fórmulas para Transformación de Box-Cox para Series de Tiempo.

Los resultados del análisis incluyen los pronósticos retrotransformados y los límites de probabilidad de los pronósticos. El valor t^ésimo de la serie temporal transformada depende del valor de λ para la transformación:

para λ > 0
para λ = 0
para λ < 0

donde es el valor t^ésimo de la serie temporal original y t = 1, ..., n.

Sea sea el valor de^{previsión l ésimo} a partir del origen, t, para los datos transformados. Sea sea la varianza de pronóstico de l-paso de los datos transformados. Entonces, el valor de pronóstico l^ésimo de t para la serie original depende del valor de λ:

La transformación del límite de probabilidad para un pronóstico utiliza el inverso de la transformación de Box-Cox. Para obtener detalles sobre los cálculos de los límites de probabilidad, vaya a Métodos y fórmulas para la ARIMA. La transformación inversa para el límite de probabilidad superior es la misma que la transformación inversa para el límite de probabilidad inferior. La transformación inversa depende del valor de λ.

donde es el límite en la escala original y es el límite en la escala transformada.

Modelo de caminata aleatoria

El modelo ARIMA(0, 1, 0), con o sin un término constante, es el modelo de caminata aleatoria. En Minitab Statistical Software, Pronóstico con el mejor modelo ARIMA se ajusta al modelo de caminata aleatoria. El comando Estadísticas > Series de tiempo > ARIMA requiere al menos un parámetro autorregresivo o de media móvil. Los límites de estimación y probabilidad para el modelo de caminata aleatoria tienen formas específicas. Los cálculos para la similitud logarítmica, los límites de pronóstico y los límites de probabilidad para los pronósticos dependen de si el modelo incluye un término constante.

Definiciones

Término	Description
	las observaciones para una serie de tiempo con t = 1, ..., n
	los primeros datos diferenciados de la serie de tiempo original,

Utilice las siguientes ecuaciones para representar el modelo sin una constante:

donde se distribuyen de forma independiente e idéntica y siguen la distribución normal con media 0 y varianza σ², t = 2, ..., n.

Las ecuaciones que representan el modelo con una constante son similares:

Los cálculos del valor de probabilidad hacen uso de la siguiente ecuación:

Modelo sin término constante

La log-verosimilitud tiene la siguiente forma:

log-verosimilitud

donde

El valor de pronóstico en t + l, l = 1, ..., 150, a partir del orden de tiempo, t tiene la siguiente forma:

El límite de probabilidad de 100 × (1 – α) para el valor de pronóstico , se expresa de la siguiente forma:

donde representa el percentil 100 × (1 – α/2)^ésimo de la distribución normal estándar.

Modelo con un término constante

Para un modelo con una constante, los cálculos para la log-verosimilitud requieren la estimación de la constante, C. Primero, diferenciar los datos de la serie original para t = 2, ..., n. La constante es la media muestral de y se expresa de la siguiente forma: