Métodos y fórmulas para los coeficientes y la ecuación de regresión para Ajuste el Modelo de Cox con Predictores Fijos solamente

El modelo semiparamétrico de riesgos proporcionales de Cox utiliza los valores predictivos para un individuo, , para predecir la puntuación de riesgo, . La ecuación se expresa de la siguiente forma general:

donde es el vector de los coeficientes estimados. Los coeficientes estimados pueden incluir valores para términos de orden superior, como son los cuadrados de los predictores continuos. La puntuación de riesgo estimada es válida para el periodo de estudio completo y no depende del tiempo. En el resultado, la ecuación se expresa de la siguiente forma, donde aparece una ecuación independiente para los diferentes niveles de factores categóricos:

Sea la función de verosimilitud logarítmica parcial para el modelo de riesgos proporcionales de Cox . El vector que maximiza la función de verosimilitud parcial, , proporciona los coeficientes estimados para el modelo. Para buscar , establezca las derivadas parciales de la función de verosimilitud logarítmica-parcial igual a cero y resuelva las ecuaciones para . Minitab Statistical Software utiliza el método de iteración de Newton-Raphson para resolver las ecuaciones. Consulte Murray (1972)¹ for a description of the Newton-Raphson iterative method.

El vector de las derivadas parciales de la función de verosimilitud logarítmica parcial depende de que la variable de respuesta incluya eventos con tiempos empatados. Si la variable de respuesta incluye empates, la estimación utiliza la aproximación de Efron o la aproximación de Breslow. Si la variable de respuesta no incluye empates, los 3 métodos proporcionan las mismas estimaciones. Cuantos menos empates existan en los datos, más cercanos serán los resultados de los dos métodos de aproximación. Cuantos más empates existan en los datos, mejor será la aproximación de Efron en comparación con la aproximación de Breslow.

Los cálculos utilizan la siguiente definición:

Término	Description
	el vector de valores covariables que corresponde a la unidad de muestra con el tiempo de evento

Datos sin empates

Los cálculos para datos sin empates utilizan las siguientes definiciones:

Término	Description
	el número de tiempos del evento
	el riesgo establecido al tiempo , que es el conjunto de todas las unidades de muestra que aún pueden fallar antes del tiempo
	una variable de conteo para el número de parámetros del modelo, donde es el número de parámetros del modelo

La función de verosimilitud parcial para el modelo de riesgos proporcionales de Cox sin empates se expresa de la siguiente forma:

La función de verosimilitud logarítmica parcial se expresa de la siguiente forma:

El vector de derivadas parciales con respecto a los componentes de , se expresa de la siguiente forma:

de modo que la derivada parcial para un coeficiente particular, , se expresa de la siguiente forma:

Datos con empates

Los cálculos para los datos con empates utilizan las siguientes definiciones:

Término	Description
	el número de eventos al tiempo
	el conjunto de todas las unidades de muestra con evento al tiempo
	el riesgo establecido al tiempo , que es el conjunto de todas las unidades de muestra que aún pueden fallar antes del tiempo

Además, sea

Aproximación de Efron para datos con empates

La función de verosimilitud parcial aproximada se expresa de la siguiente forma:

La función de verosimilitud logarítmica parcial se expresa de la siguiente forma:

de modo que la derivada parcial para un coeficiente particular, , se expresa de la siguiente forma:

Aproximación de Breslow para datos con empates

La función de verosimilitud parcial aproximada se expresa de la siguiente forma:

La función de verosimilitud logarítmica parcial se expresa de la siguiente forma:

de modo que la derivada parcial para un coeficiente particular, , se expresa de la siguiente forma:

Los errores estándar de los coeficientes son las raíces cuadradas positivas de los elementos diagonales de la matriz de varianza y covarianza de los estimados paramétricos. La matriz de varianza y covarianza se expresa de la siguiente forma:

donde la matriz de información observada, depende de que la variable de respuesta incluya eventos con tiempos empatados. Si la variable de respuesta incluye empates, la estimación utiliza la aproximación de Efron o la aproximación de Breslow. Si la variable de respuesta no incluye empates, los 3 métodos proporcionan las mismas estimaciones. Cuantos menos empates existan en los datos, más cercanos serán los resultados de los dos métodos de aproximación. Cuantos más empates existan en los datos, mejor será la aproximación de Efron en comparación con la aproximación de Breslow.

Datos sin empates

El elemento (k, l) de la matriz de información observada de Fisher se expresa de la siguiente forma:

donde el elemento (k, l) de la matriz hessiana para la función de verosimilitud logarítmica parcial se expresa de la siguiente forma:

Aproximación de Efron para datos con empates

El elemento (k, l) de la matriz de información observada de Fisher se expresa de la siguiente forma:

donde el elemento (k, l) de la matriz hessiana para la función de verosimilitud logarítmica parcial se expresa de la siguiente forma:

donde

y

Aproximación de Breslow para datos con empates

El elemento (k, l) de la matriz de información observada de Fisher se expresa de la siguiente forma:

donde el elemento (k, l) de la matriz hessiana para la función de verosimilitud logarítmica parcial se expresa de la siguiente forma:

donde

y

La estadística de prueba se expresa de la siguiente forma:

donde es el error estándar estimado del coeficiente . El valor de es la raíz cuadrada positiva del k^ésimo elemento diagonal de .

Un intervalo de confianza aproximado de 100(1 – α) para el coeficiente se expresa de la siguiente fórmula:

donde es el punto superior del percentil α de la distribución normal estándar.

Para un modelo que incluye una variable categórica con niveles s como variable de estratificación, los coeficientes de regresión son constantes en todos los estratos. La estimación de los coeficientes de regresión en el modelo estratificado sigue el mismo proceso que el modelo de riesgos proporcionales sin estratificación. Para el modelo estratificado, la función de verosimilitud logarítmica parcial se expresa de la siguiente forma:

donde es la verosimilitud logarítmica parcial dentro del estrato j. Sume las derivadas de cada estrato para obtener las ecuaciones de verosimilitud parcial. Las derivadas de cada estrato son las mismas que las derivadas para el modelo de riesgos proporcionales sin estratificación. Los métodos de Breslow y Efron se aplican según corresponda.