Métodos para Estudio de estabilidad para lotes aleatorios

La forma general del modelo mixto

Los modelos mixtos de los efectos contienen efectos fijos y aleatorios. La forma general del modelo mixto de los efectos es:

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ... + Z_cμ_c + ε

Notación

Formas particulares del modelo mixto

Los estudios de estabilidad se ajustan a dos modelos con un factor de lote aleatorio. El modelo más grande contiene tiempo, el factor de lote aleatorio, y la interacción aleatoria entre tiempo y lote.

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ε

El modelo más pequeño contiene tiempo y el factor de lote aleatorio.

y = Xβ + Z₁μ₁+ε

La matriz general de varianzas-covarianzas del vector de respuesta, y, es:

V(σ²) = V(σ², σ²₁, ... , σ²_c) = σ²I_n + σ²₁Z₁Z'₁ + ... + σ²_cZ_cZ'_c

donde

σ² = (σ², σ²₁, ... , σ²_c)'

σ², σ²₁, ... , σ²_c se denominan componentes de la varianza.

Al factorizar a partir de la varianza, usted puede encontrar una representación de H(θ), que está en el cálculo de la log-verosimilitud de los modelos mixtos.

V(σ²) = σ²H(θ) = σ²[I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c]

Cuando el lote es un factor aleatorio, las estimaciones de parámetros desconocidos se obtienen al minimizar dos veces el negativo de la función de log-verosimilitud restringida. La minimización es equivalente a maximizar la función de log-verosimilitud restringida. La función que se minimiza es:

Notación

La transformación de Box Cox selecciona los valores de lambda, como se muestra a continuación, que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos. La transformación resultante es Y ^λ cuando λ ≠ 0 y ln(Y) cuando λ = 0. Cuando λ < 0, Minitab también multiplica la respuesta transformada por −1 para mantener el orden de la respuesta no transformada.

Minitab busca un valor óptimo entre −2 y 2. Los valores que estén fuera de este intervalo podrían no producir un mejor ajuste.

Las siguientes son algunas transformaciones comunes donde Y′ es la transformación de los datos Y:

Valor de lambda (λ)	Transformación
λ = 2	Y′ = Y 2
λ = 0.5	Y′ =
λ = 0	Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1	Y′ = −1 / Y

Si la interacción Lote*Tiempo es significativa, el análisis se ajusta al primer modelo. Si la interacción no es significativa, pero el término Lote es significativo en el segundo modelo, el análisis se ajusta el segundo modelo. De lo contrario, el análisis se ajusta al tercer modelo.

La prueba para determinar si se deben agrupar los lotes es ligeramente diferente de la prueba para incluir un lote, aunque ambas dependen de la distribución de chi-cuadrada. Las fórmulas para los estadísticos de prueba y los valores p son las siguientes.

Prueba entre el modelo 1 y el modelo 2

diferencia = −2L₂ − (−2L₁)

p = 0.5 * Prob(χ²₁ > diferencia) + 0.5 * Prob(χ²₂ > diferencia)

Prueba entre el modelo 2 y el modelo 3

diferencia = −2L₃ − (−2L₂)

p = 0.5 * Prob(χ²₁ > diferencia)

Notación

Referencias

1. Searle, S.R. Casella, G. y McCuloch, C.E. (1992). Variance Components
2. West, B.T., Welch, K.B. y Galecki, A.T. (2007). Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software.
3. Chow, S. (2007). Statistical Design and Analysis of Stability Studies.