Métodos y fórmulas para Regresión ortogonal

El modelo de errores de medición es:

En la regresión ortogonal, la línea de mejor ajuste es la que minimiza las distancias ortogonales ponderadas desde los puntos graficados hasta la línea. Si la relación de las varianzas del error es 1, las distancias ponderadas son distancias euclidianas.

Notación

Término	Description
Yt	respuesta observada
β0	intersección
β1	pendiente
Xt	predictor observado
xt	valor verdadero y no observado del predictor
et, ut	los errores de medición; et, ut son independientes con una media de 0 y varianzas del error de δe2 y δu2

Sea la media de la muestra (, ) y sea la matriz de covarianzas de la muestra:

m_ZZ es una matriz simétrica 2X2:

Notación

Término	Description
Zt	(Yt, Xt)
n	tamaño de la muestra

Si el elemento m_XY de la matriz de covarianzas de la muestra no es igual a 0, entonces:

Si m_XY = 0 y m_YY < δm_XX,

Si m_XY = 0 y m_YY > δm_XX, las estimaciones de parámetros restantes son indefinidas.

Notación

Término	Description
	estimación de la varianza del error para X
	estimación de la varianza del error para Y
δ	relación de varianzas del error
mXY	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra
mYY	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra
mXX	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra

Si el elemento m_XY de la matriz de covarianzas de la muestra no es igual a 0, entonces:

Si m_xy = 0 y m_yy < δm _xx','

Si m_xy = 0 y m_yy > δm_xx, las estimaciones de parámetros restantes son indefinidas.

Notación

Término	Description
	estimación de la pendiente
	estimación de la intersección
mxy	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra
myy	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra
δ	relación de varianzas del error
	media de los valores de respuesta
	media de los valores predictores

Una estimación de la matriz de covarianzas de la distribución aproximada de la intersección y la pendiente:

donde:

y

Si m_XY no es igual a 0:

Si m_XY es igual a 0 y m_YY < δm_XX:

Notación

Término	Description
	estimación de la pendiente
	estimación de la intersección
mXY	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra
mYY	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra
mXX	elemento de la matriz de covarianzas de la muestra
δ	relación de varianzas del error
	media de los valores de respuesta
	media de los valores predictores

El intervalo de confianza de 100(1 - α)% para β₀ es:

donde:

Z (1 - α / 2) es el percentil 100 * (1 - α / 2 ) de la distribución normal estándar

y

, que es un elemento en la matriz de covarianzas de la distribución aproximada

Notación

Término	Description
	estimación de la pendiente
	estimación de la intersección
α	nivel de significancia

El intervalo de confianza de 100(1 - α)% para β₁ es:

donde:

Z(1 - α / 2) es el percentil 100 * (1 - α / 2 ) para la distribución normal estándar

y

Notación

Término	Description
	estimación de la pendiente
	estimación de la intersección
α	nivel de significancia

El valor ajustado del predictor x en la regresión ortogonal es:

Notación

Término	Description
δ	relación de varianzas del error
Yt	tésimo valor de respuesta
	estimación de la intersección
	estimación de la pendiente

El valor ajustado de la respuesta y en la regresión ortogonal es:

Notación

Término	Description
	estimación de la intersección
	estimación de la pendiente
	tésimo valor ajustado de x

El residuo de una observación en la regresión ortogonal es:

Notación

Término	Description
Yt	tésimo valor de respuesta
	intersección
Xt	tésimo valor predictor
	pendiente

El residuo estandarizado es útil para identificar valores atípicos. Se calcula de la siguiente manera:

donde

Notación

Término	Description
	residuo
	desviación estándar del residuo
δ	relación de las varianzas del error
	estimación de la pendiente
	estimación de la varianza del error para X

El predictor de Y_{n + 1} es:

donde:

y

Notación

Término	Description
Xt	tésimo valor predictor
	media de los valores predictores
Yt	tésimo valor de respuesta
	media de los valores de respuesta

donde:

Notación

Término	Description
myy	varianza de la muestra para Y
mxy	covarianza de la muestra entre las variables aleatorias X y Y