Métodos y fórmulas para Regresión logística ordinal

Minitab ofrece tres funciones de enlace: logit (la predeterminada), normit y gompit. Las funciones de enlace permiten ajustar una amplia clase de modelos de respuesta ordinal. El logit es la inversa de la función de distribución logística acumulada estándar. La función normit, también conocida como probit, es la inversa de la función de distribución normal acumulada estándar. La función gompit, también conocida como log-log complementario, es la inversa de la función de distribución de Gompertz.

Fórmula

g(χ_k) = θ_k +x'β, k = 1, ..., K-1

La función de enlace es la inversa de una función de distribución. Las funciones de enlace y sus distribuciones correspondientes se resumen a continuación:

Notación

Describe un conjunto individual de valores de factor/covariable en un conjunto de datos. Minitab calcula las probabilidades del evento, los residuos y otras medidas de diagnóstico para cada patrón de factor/covariable.

Por ejemplo, si un conjunto de datos incluye los factores sexo y raza y la covariable edad, la combinación de estos predictores puede contener tantos patrones diferentes de covariables como sujetos. Si un conjunto de datos solamente incluye los factores raza y sexo, cada uno codificado en dos niveles, solo hay cuatro patrones posibles de factor/covariable. Si usted ingresa los datos como frecuencias o como éxitos, ensayos o fracasos, cada fila contiene un patrón de factor/covariable.

Las probabilidades del evento son π_k para k = 1, 2, ..., K.

Fórmula

Notación

La probabilidad de que la respuesta esté en la categoría k o una categoría inferior, para cada k posible. La k^ésima probabilidad acumulada es:

Fórmula

P(yk) = p₁ + ... + p_k,k = 1, ... , K

Las probabilidades acumuladas reflejan el orden de la respuesta. Para un modelo con k categorías de respuesta:

P(y 1) <P(y 2) … P(yK) = 1

Puesto que la suma de las probabilidades es igual a 1, no se calcula ninguna probabilidad para la última categoría. Los logits de las primeras K - 1 probabilidades acumuladas son:

Minitab utiliza el modelo de probabilidades proporcionales donde un vector de predictores, x, tiene un parámetro β que describe el efecto de x sobre las probabilidades logarítmicas de la respuesta en la categoría k o inferior. Minitab presupone un efecto idéntico de x para todas las categorías K – 1, por lo que solo se calcula 1 coeficiente para cada predictor. El coeficiente del predictor indica que para cualquier k fija, el cambio estimado en el logit de la respuesta cuando el predictor está en un nivel en comparación con el nivel de referencia.

Minitab estima una constante para cada K – 1 categoría. Utilice las estimaciones de parámetros para calcular las probabilidades estimadas para cada categoría usando el modelo de las probabilidades acumuladas:

Fórmula

Los coeficientes estimados se calculan usando un método iterativo reponderado de mínimos cuadrados, que es equivalente a la estimación de máxima verosimilitud.^1,2

Referencias

Z se utiliza para determinar si el predictor está significativamente relacionado con la respuesta. Valores absolutos más grandes de Z indican una relación significativa. El valor p indica donde se encuentra Z en la distribución normal.

Fórmula

Z = β_i / error estándar

La fórmula para la constante es:

Z = θ_k / error estándar

Para muestras pequeñas, la prueba de relación de probabilidades puede ser una prueba de significancia más fiable.

Se utilizan en las pruebas de hipótesis como ayuda para decidir si se puede rechazar o no una hipótesis nula. El valor p es la probabilidad de obtener un estadístico de prueba que sea por lo menos tan extremo como el valor real calculado, si la hipótesis nula es verdadera. Un valor de corte que se utiliza comúnmente para el valor p es 0.05. Por ejemplo, si el valor p calculado de un estadístico de prueba es menor que 0.05, usted rechaza la hipótesis nula.

Minitab utiliza un modelo de probabilidades proporcionales para la regresión logística ordinal. Solo se calcula un parámetro y una relación de probabilidades para cada predictor. La relación de probabilidades utiliza las probabilidades acumuladas y sus complementos. Para un predictor con 2 niveles x₁ y x₂, la relación de probabilidades acumulada es:

Fórmula

Fórmula

El intervalo de confianza de muestras grandes para β_i es:

β _i + Z_{α /2}* (error estándar)

Para obtener el intervalo de confianza de la relación de probabilidades, eleve a una potencia los límites inferior y superior del intervalo de confianza. El intervalo proporciona el rango en el que podrían situarse las probabilidades para cada cambio de una unidad en el predictor.

Notación

Derivada de las funciones de densidad de las probabilidades individuales, la expresión se maximiza para producir valores óptimos de β. La log-verosimilitud no puede utilizarse por sí sola como una medida de ajuste, porque depende del tamaño de la muestra, pero se puede usar para comparar dos modelos.

Para la regresión logística ordinal, existen n vectores multinomiales independientes, cada uno con k categorías. Estas observaciones se denotan con y₁, ..., y_n, donde y_i = (y_i1, ..., y_ik) y Σ_jy_ij = m_i es fijo para cada i. De la i^ésima observación y_i, la contribución a la log-verosimilitud es:

Fórmula

L(π_i ; y_i) = Σ_ky_ik log π_ik

La log-verosimilitud total es una suma de las contribuciones de cada una de las n observaciones:

L(π ; y) = Σ_i L(π_i; y_i)

Notación

Una matriz cuadrada con las dimensiones p + K – 1. La varianza de cada coeficiente se encuentra en la celda diagonal y la covarianza de cada par de coeficientes se encuentra en la celda adecuada adyacente a la diagonal. La varianza es el error estándar del coeficiente elevado al cuadrado.

La matriz de varianzas-covarianzas es asintótica y se obtiene a partir de la última iteración de la inversa de la matriz de información.

Notación

Los pares concordantes y discordantes indican qué tan bien el modelo predice los datos. Mientras más pares concordantes tenga usted, mejor será la capacidad predictiva del modelo.

La tabla de pares concordantes, discordantes y de valores iguales se calcula formando todos los pares posibles de observaciones con valores de respuesta diferentes. Supongamos que los valores de respuesta son 1, 2 y 3. Minitab parea cada observación con el valor de respuesta 1 con cada observación con los valores de respuesta 2 y 3 y luego parea cada observación con el valor de respuesta 2 con cada observación con los valores de respuesta 1 y 3. El número total de pares es igual al número de observaciones con la respuesta 1 multiplicado por el número de observaciones con la respuesta 2 más el número de observaciones con la respuesta 1 multiplicado por el número de observaciones con la respuesta 3 más el número de observaciones con la respuesta 2 multiplicado por el número de observaciones con la respuesta 3.

Para determinar si los pares son concordantes o discordantes, Minitab calcula las probabilidades pronosticadas acumuladas de cada observación y compara estos valores para cada par de observaciones.

Concordante

Para los pares que incluyen el valor de respuesta más bajo (que en el ejemplo anterior es 1), un par es concordante si la probabilidad acumulada hasta el valor de respuesta más bajo es mayor para la observación con el valor de respuesta más bajo que para la observación con el valor de respuesta más alto. Para los pares con los valores de respuesta más altos (en el ejemplo anterior, los pares con 2 y 3), un par es concordante si la probabilidad acumulada hasta 2 es mayor para la observación con el valor de respuesta 2 que para la observación con el valor de respuesta 3.

Discordante

Para los pares que incluyen el valor de respuesta más bajo (que en el ejemplo anterior es 1), un par es discordante si la probabilidad acumulada hasta el valor de respuesta más bajo es mayor para la observación con el valor de respuesta más alto que para la observación con el valor de respuesta más bajo. Para los pares con los valores de respuesta más altos (en el ejemplo anterior, los pares con 2 y 3), un par es discordante si la probabilidad acumulada hasta 2 es mayor para la observación con el valor de respuesta 3 que para la observación con el valor de respuesta 2.

Empates

Un par tiene valores iguales si las observaciones tienen probabilidades acumuladas iguales.

Fórmula

Usando la tabla de pares concordantes, discordantes y de valores iguales, Minitab calcula las siguientes medidas de resumen:

Notación