Métodos y fórmulas para las estimaciones de parámetros en Regresión no lineal

Para aplicar las restricciones de parámetros, transforme los parámetros.¹

Si	Entonces
a < θ	θ = a + exp( φ )
θ < b	θ = b - exp( φ )
a < θ < b	θ = a +((b - a) / (1 + exp( -φ )))

Término	Description
a y b	constantes numéricas
θ	parámetros
φ	parámetros transformados

Minitab realiza estas transformaciones y muestra los resultados en términos de los parámetros originales.

1. Bates y Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.

El error estándar aproximado de la estimación de θ_p es S veces la raíz cuadrada del elemento diagonal p de , que se escribe como:

donde e_p es un vector P por 1 con el elemento p igual a 1 y todos los demás elementos iguales a 0. Minitab calcula:

resolviendo a la inversa:

Notación

Término	Description
n	nésima observación
N	número total de observaciones
p	número de parámetros libres (no bloqueados)
R	la matriz R (triangular superior) de la descomposición QR de Vi para la iteración final
v0	matriz de gradientes = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp), el vector P por 1 de las derivadas parciales de f(x0, θ), evaluadas en θ*
S

La matriz aproximada de varianzas-covarianzas de las estimaciones de parámetros es:

La correlación aproximada entre las estimaciones de θ_p y θ_q es:

Puesto que R es triangular, Minitab puede obtener su inversa al resolver a la inversa en lugar de usar un algoritmo de inversión de propósito general.

Notación

Término	Description
R	la matriz R (triangular superior) de la descomposición QR de Vi para la iteración final
P	número de parámetros libres (no bloqueados)
v0	matriz de gradientes = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp), el vector P por 1 de las derivadas parciales de f(x0, θ), evaluadas en θ*
θ	parámetros

Sea θ = (θ₁, . . . . θ_p) * con θ* la iteración final para θ.

Los límites de confianza de 100 (1 - α) % basados en la verosimilitud satisfacen:

donde S( θ_p ) es la SSE obtenida al mantener θ_p fijo y minimizar los otros parémetros.¹ Esto es equivalente a resolver:

S(θ_p) = S(θ*) + (t_α/2)² MSE

Notación

Término	Description
θ	parámetros
n	nésima observación
N	número total de observaciones
P	número de parámetros libres (no bloqueados)
tα/2	punto superior α/2 de la distribución t con N - P grados de libertad
S(θ)	Suma de los cuadrados del error
MSE	cuadrado medio del error