Contribuciones de fila y columna para Análisis de correspondencia simple

Los perfiles de columna se encuentran en un espacio c-dimensional. El conjunto completo de d ejes principales abarca este espacio. Supongamos que g_j1, g_j2, g_j3, ..., g_jd son las coordenadas del perfil de columna j en términos de los ejes principales. Estas coordenadas se llaman coordenadas principales de columna. La k^ésima coordenada principal para el perfil de columna j es g_jk.

Los primeros k ejes principales abarcan el mejor subespacio k-dimensional. Si proyectamos el perfil de columna j hacia el mejor subespacio k-dimensional, g_j1,..., g_jk son las coordenadas principales de columna del perfil en este subespacio.

Cada eje principal contribuye a la inercia de cada fila. La correlación de la fila i y el componente k es la contribución del eje principal k a la inercia de la fila i, expresada como porcentaje de la inercia de la fila i.

La correlación también puede verse como la correlación entre el perfil de fila i y el componente principal k. Esta correlación se calcula de la siguiente manera:

Del mismo modo, la correlación de la columna j y el componente k es la contribución del eje principal k a la columna j, expresada como porcentaje de la inercia de la columna j.

La correlación también puede verse como la correlación entre el perfil de columna j y el componente principal k. Esta correlación se calcula de la siguiente manera:

Minitab muestra la inercia relativa de una determinada fila o columna. La inercia absoluta es el producto de la inercia relativa y la inercia total.

La suma de las correlaciones de la fila i (columna j) para todos los componentes principales es 1. La suma para las primeras k coordenadas principales es la calidad asociada con perfil de fila i (perfil de columna j) y el mejor subespacio k-dimensional.

Notación

La inercia de una celda se calcula de la siguiente manera:

La suma de todas las inercias de celda es la inercia total, a veces mencionada simplemente como la inercia, de la tabla.

La inercia relativa de una celda se calcula de la siguiente manera:

Los perfiles de fila se encuentran en un espacio c-dimensional. Los ejes principales, también denominados componentes principales, abarcan los subespacios dimensionales más bajos. El primer eje principal se elige como el vector en el espacio c-dimensional que representa la máxima cantidad de la inercia total. Por lo tanto, el primer eje principal abarca el mejor subespacio unidimensional (es decir, el más cercano a los perfiles usando una métrica adecuada). El segundo eje principal se elige como el vector en el espacio c-dimensional que representa la máxima cantidad de la inercia restante. Por lo tanto, los dos primeros ejes principales abarcan el mejor subespacio bidimensional. El tercer eje principal se elige como el vector en el espacio c-dimensional que representa la máxima cantidad de la inercia restante, después de la inercia representada por los dos primeros ejes principales. Por lo tanto, los tres primeros ejes principales abarcan el mejor subespacio tridimensional, y así sucesivamente.

Sea d = el menor de (r − 1) y (c − 1). Los perfiles de fila (o equivalentemente los perfiles de columna) se encuentran en un subespacio d-dimensional del espacio c-dimensional completo (o equivalentemente del espacio r-dimensional completo). Por lo tanto, el número de ejes principales es d como máximo.

La calidad asociada con el perfil de fila i y el mejor subespacio k-dimensional se calcula de la siguiente manera:

La calidad asociada con el perfil de columna j y el mejor subespacio k-dimensional se calcula de la siguiente manera:

La calidad siempre es un número en la gama entre 0 y 1, donde los números más grandes indican una mejor aproximación.

Notación

Cada fila contribuye a la inercia de cada eje. La contribución de la fila i al eje k, expresada como un porcentaje de la inercia del eje k, se calcula de la siguiente manera:

La suma de las contribuciones del eje principal k, para todas las filas i, es 1.

Del mismo modo, cada columna contribuye a la inercia de cada eje. La contribución de la columna j al eje k, expresada como un porcentaje de la inercia del eje k, se calcula de la siguiente manera:

La suma de las contribuciones del eje principal k, para todas las columnas j, es 1.

Notación

El total de la fila i se calcula de la siguiente manera:

El total de la columna j se calcula de la siguiente manera:

El vector de r totales de fila es igual al perfil promedio de fila y el vector de c totales de columna es igual al perfil promedio de columna.