Métodos para Ajustar modelo de efectos mixtos

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En este tema

El modelo de efectos mixtos y la log-verosimilitud
Estimación de máxima verosimilitud restringida (REML)

El modelo de efectos mixtos y la log-verosimilitud

La forma general del modelo de efectos mixtos

Los modelos de efectos mixtos contienen efectos fijos y aleatorios. La forma general del modelo de efectos de efectos mixtos es:

y = Xβ + Z₁μ₁+ Z₂μ₂ + ... + Z_cμ_c + ε

Notación

Término	Description
y	el vector n x 1 de valores de respuesta
X	la matriz de diseño n x p para los términos de efectos fijos, p ≤ n
β	un vector p x 1 de parámetros desconocidos
	la matriz de diseño n x m_i para el término aleatorio incluido en el modelo
μ_i	un vector m_i x 1 de variables independientes desde N(0, )
ε	un vector n x 1 de variables independientes desde N(0, )
n	el número de observaciones
p	el número de parámetros en
c	el número de términos aleatorios incluidos en el modelo

Matriz de varianzas-covarianzas

De acuerdo con el supuesto del modelo para la forma general del modelo de efectos mixtos, el vector de respuestas, y, tiene una distribución normal multivariada con el vector de medias Xβ y la siguiente matriz de varianzas-covarianzas:

V(σ²) = V(σ², σ²₁, ... , σ²_c) = σ²I_n + σ²₁Z₁Z'₁ + ... + σ²_cZ_cZ'_c

donde

σ² = (σ², σ²₁, ... , σ²_c)'

σ², σ²₁, ... , σ²_c se denominan componentes de la varianza.

Al factorizar a partir de la varianza, usted puede encontrar una representación de H(θ), que está en el cálculo de la log-verosimilitud de los modelos de efectos mixtos.

V(σ²) = σ²H(θ) = σ²[I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c]

Notación

Término	Description

θ_i	, la relación de la varianza del término aleatorio sobre la varianza del error

Log-verosimilitud

Cuando el modelo contiene un factor aleatorio, por opción predeterminada, las estimaciones de parámetros desconocidos se obtienen al minimizar dos veces el negativo de la función de log-verosimilitud restringida. La minimización es equivalente a maximizar la función de log-verosimilitud restringida. Minitab utiliza un algoritmo iterativo para minimizar la función de log-verosimilitud restringida. La función que se minimiza es:

Notación

Término	Description
H	I_n + θ₁Z₁Z'₁ + ... + θ_cZ_cZ'_c
\|H\|	el determinante de H
H^-1	la inversa de H
m_i	el número de niveles para el término aleatorio
	el componente de la varianza del error
I_n	la matriz de identidad con n filas y columnas

Estimación de máxima verosimilitud restringida (REML)

Por opción predeterminada, Minitab calcula estimaciones de los parámetros que maximizan la función de verosimilitud restringida, lo que equivale a minimizar la siguiente función:

Para minimizar la función, Minitab diferencia la función con respecto a β, σ² y θ_i y establece las diferencias en 0:

donde

El reordenamiento algebraico de las dos primeras ecuaciones para resolver los parámetros estimados con respecto a la diferenciación da las siguientes ecuaciones:

La derivada con respecto a

no se puede resolver explícitamente para los

. Minitab utiliza el método de Newton para estimar

con los siguientes pasos:

Usar las estimaciones insesgadas de mínimos cuadrados bajo normalidad (MINQUE)¹ ² de los componentes de la varianza para construir los valores iniciales de σ² y θ_i.
Estimar β y σ² con las ecuaciones para y .
Hallar θ_i con el método de Newton para minimizar L(β, σ², θ).
Repetir los pasos 2 y 3 hasta la convergencia.

Las soluciones de convergencia para

son las estimaciones de las relaciones de la varianza. El componente de la varianza para el

término aleatorio es el siguiente:

Notación

Término	Description
tr(·)	la traza de la matriz
X'	la transpuesta de X

¹ Rao, C.R. (1971 a). Estimation of variance covariance components - MINQUE theory. Journal of Multivariate Analysis 1, 257–275.

² Rao, C.R. (1971 b). Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis 1, 445–456.