Métodos y fórmulas para Intervalos de tolerancia (Distribución normal)

Definiciones generales

Sean X₁, X₂, ..., X_n los estadísticos ordenados con base en una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de una distribución continua.

Sea F(χ;θ) la función de distribución para Ω en algún espacio de parámetro con una dimensión mayor que o igual a 1.

Sean L < U dos estadísticos basados en la muestra tal que para cualquier valor α y P dado, con 0 < α < 1 y 0 < P < 1, se cumpla lo siguiente para cada θ en Ω:

Entonces, el intervalo [L, U] es un intervalo de tolerancia bilateral con contenido = P x 100% y nivel de confianza = 100(1 – α)%. Tal intervalo se puede denominar un intervalo de tolerancia (1 – α, P) bilateral. Por ejemplo, si α = 0.10 y P = 0.85, entonces el intervalo resultante se denomina un intervalo de tolerancia (90%, 0.85) bilateral.

Si L = –∞ y U < +∞, entonces el intervalo (-∞, U] se denomina un borde de tolerancia superior (1 – α, P) unilateral. Si L > -∞ y U = +∞, entonces el intervalo [L, +∞) se denomina un borde de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral.

Factor de tolerancia para los intervalos unilaterales

donde t_n-1,1-α(δ) es el percentil 1 – α de la distribución t no central con n – 1 grados de libertad y parámetro de no centralidad, δ, que viene dado por la siguiente fórmula:

Factor de tolerancia para los intervalos bilaterales

El factor de tolerancia exacto para un intervalo bilateral se obtiene resolviendo la siguiente ecuación para k. Consulte Krishnamoorthy y Mathew¹.

donde F_{n – 1} es la función de distribución acumulada para una distribución de chi-cuadrada con n – 1 grados de libertad y χ²_1,p es el percentil P^ésimo de la distribución de chi-cuadrada no central con 1 grado de libertad y parámetro de no centralidad z². El lado izquierdo de la ecuación puede reescribirse como:

donde:

donde Φ(z) es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar. Minitab utiliza una cuadratura de Gauss-Legendre de 36 puntos para evaluar I(k, n, P).

Notación

Término	Description
1 - α	el nivel de confianza del intervalo de tolerancia
P	la cobertura del intervalo de tolerancia (el porcentaje mínimo objetivo de la población en el intervalo)
G	el límite inferior del intervalo de tolerancia
U	el límite superior del intervalo de tolerancia
	la media de la muestra
k	el factor de tolerancia (también denominado factor k)
S	la desviación estándar de la muestra
n	el número de observaciones en la muestra
ZP	el percentil Pésimo de la distribución normal estándar

Intervalos unilaterales

Sea k el entero más grande que satisface lo siguiente:

donde Y es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y 1 – P. Se puede indicar (véase Krishnamoorthy y Mathew⁴) que un borde de tolerancia inferior (1 – α, P) unilateral viene dado por X_k. Del mismo modo, un borde de tolerancia superior (1 – α, P) unilateral viene dado por X_{n - k +1}. En ambos casos, la cobertura real o efectiva viene dada por P(Y > k).

Intervalos bilaterales

Sea k el entero más pequeño que satisface lo siguiente:

donde V es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y P. Por lo tanto,

donde F _V ^-1(x) es la función de distribución acumulada inversa de V. Se puede indicar (véase Krishnamoorthy y Mathew⁴) que un intervalo de tolerancia (1 – α, P) bilateral pudiera obtenerse como ( X_r , X_s ). Minitab elige s = n - r + 1 tal que r = ( n – k + 1) / 2. Tanto r como s se redondean por defecto al entero más cercano. La cobertura real o efectiva viene dada por P(V < k – 1).

Notación