Métodos y fórmulas para una gráfica de distribución de probabilidad

Para un número p en el intervalo cerrado [0,1], la función de distribución acumulada inversa (ICDF) de una variable X aleatoria determina, donde sea posible, un valor de x tal que la probabilidad de X ≤ x sea mayor que o igual a p.

La ICDF de distribuciones continuas

La ICDF es el valor que se asocia con un área por debajo de la función de densidad de probabilidad. La ICDF es la inversa de la función de distribución acumulada (CDF), que es el área que se asocia con un valor.

Para todas las distribuciones continuas, la ICDF existe y es única si 0 < p < 1.

• Cuando la función de densidad de probabilidad (PDF) es positiva para toda la línea de números reales (por ejemplo, la PDF normal), la ICDF no se define para p = 0 ni p = 1.
• Cuando la PDF es positiva para todos los valores que son mayores que cierto valor (por ejemplo, la PDF de chi-cuadrada), la ICDF se define para p = 0, pero no para p = 1.
• Cuando la PDF es positiva solo en un intervalo (por ejemplo, la PDF uniforme), la ICDF se define para p = 0 y p = 1.
• Cuando la ICDF no está definida, Minitab devuelve un valor faltante (*) en el resultado.

La ICDF para distribuciones discretas

La ICDF es más complicada para las distribuciones discretas que para las distribuciones continuas. Cuando usted calcula la CDF para una binomial con, por ejemplo, n = 5 y p = 0,4, no hay un valor de x tal que la CDF sea 0,5. Para x = 1, la CDF es 0,3370. Para x = 2, la CDF aumenta a 0,6826.

Cuando se muestra la ICDF (es decir, los resultados no se almacenan), se muestran ambos valores de x. Cuando la ICDF se almacena, se almacena el mayor de los dos valores.

La distribución beta suele utilizarse para representar procesos con límites inferiores y superiores naturales.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

Cuando a = 0, b = 1,

la PDF es:

La distribución binomial se utiliza para representar el número de eventos que ocurren en n ensayos independientes. Los valores posibles son enteros de cero a n.

Fórmula

media = np

varianza = np(1 – p)

La función de masa de probabilidad (PMF) es:

Donde es igual a .

Generalmente, puede calcular k! como

Notación

La distribución de Cauchy es simétrica alrededor de cero, pero las colas se aproximan a cero con menor rapidez que las de la distribución normal.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

Si X tiene una distribución normal estándar, X² tiene una distribución de chi-cuadrada con un grado de libertad, lo que le permite ser una distribución de muestreo de uso común.

La suma de n variables X² independientes (donde X tiene una distribución normal estándar) tiene una distribución de chi-cuadrada con n grados de libertad. La forma de la distribución de chi-cuadrada depende del número de grados de libertad.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = v

varianza = 2v

Notación

Una distribución discreta es una distribución que usted mismo define. Por ejemplo, supongamos que usted está interesado en una distribución compuesta por tres valores −1, 0, 1, con probabilidades de 0.2, 0.5 y 0.3, respectivamente. Si ingresa los valores en columnas de una hoja de trabajo, entonces puede utilizar estas columnas para generar datos aleatorios o calcular probabilidades.

La distribución exponencial se puede utilizar para modelar tiempo entre fallas, como cuando las unidades tienen una tasa de fallas constante e instantánea (función de riesgo). La distribución exponencial es un caso especial de la distribución de Weibull y la distribución gamma.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = θ + λ

varianza = θ²

Notación

La distribución F también es conocida como la distribución de relación de varianzas y tiene dos tipos de grados de libertad: grados de libertad del numerador y grados de libertad del denominador. Es la distribución de la relación de dos variables aleatorias independientes con distribuciones de chi-cuadrada, cada una de las cuales se divide entre sus grados de libertad.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

La distribución gamma se utiliza comúnmente para modelar datos asimétricos positivamente.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = ab + θ

varianza = ab²

Notación

La distribución geométrica discreta se aplica a una secuencia de experimentos de Bernoulli independientes con un evento de interés que tiene una probabilidad p.

Fórmula

Si la variable aleatoria X es el número total de ensayos necesarios para producir un evento con probabilidad p, entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de X viene dada por:

y X presenta las siguientes propiedades:

Si la variable aleatoria Y es el número de no eventos que ocurren antes de que se observe el primer evento (con probabilidad p), entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de Y viene dada por:

y Y presenta las siguientes propiedades:

Notación

La distribución hipergeométrica se utiliza para muestras obtenidas de poblaciones pequeñas, sin reemplazo. Por ejemplo, usted tiene un envío de N televisores, donde N₁ se encuentran en buen estado (éxito) y N₂ están defectuosos (falla). Si usted toma una muestra de n televisores de N aleatoriamente, sin reemplazo, puede determinar la probabilidad de que exactamente x de los n televisores estén en buen estado.

Fórmula

La función de masa de probabilidad (PMF) es:

Notación

La distribución de enteros es una distribución uniforme discreta en un conjunto de enteros. Cada entero tiene igual probabilidad de ocurrir.

La distribución de Laplace se utiliza cuando la distribución tiene un pico más alto que una distribución normal.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = a

varianza = 2b²

Notación

Utilice la distribución de valor extremo más grande para modelar el valor más grande de una distribución. Si usted tiene una secuencia de distribuciones exponenciales y X_(n) es el máximo de la primera n, entonces X_(n) – ln(n) converge en distribución a la distribución de valor extremo más grande. Por lo tanto, para valores grandes de n, la distribución de valor extremo más grande es una aproximación adecuada a la distribución de X_(n) – ln(n).

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = μ + γσ

varianza = π ² σ ² / 6

Notación

Una distribución continua que es simétrica, similar a la distribución normal, pero con colas más pesadas.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = μ

Notación

Una variable x tiene una distribución loglogística con valor umbral λ si Y = log (x – λ) tiene una distribución loglogística.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

cuando σ < 1:

cuando σ < 1/2:

Notación

Una variable x tiene una distribución lognormal si log(x – λ ) tiene una distribución normal.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

Notación

La distribución binomial negativa discreta se aplica a una serie de experimentos de Bernoulli independientes con un evento de interés que tiene una probabilidad p.

Fórmula

Si la variable aleatoria X es el número de ensayos necesarios para producir r eventos que tienen cada uno una probabilidad p, entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de X viene dada por:

y X presenta las siguientes propiedades:

Si la variable aleatoria Y es el número de no eventos que ocurren antes de que usted observe los eventos r, cada uno con una probabilidad p, entonces la función de masa de probabilidad (PMF) de Y viene dada por:

y Y presenta las siguientes propiedades:

Notación

La distribución normal (también conocida como distribución de Gauss) es la distribución estadística más utilizada debido a los muchos procesos físicos, biológicos y sociales que puede modelar.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

media = μ

varianza = σ ²

desviación estándar = σ

Notación

La distribución de Poisson es una distribución discreta que modela el número de eventos con base en una tasa constante de ocurrencia. La distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación a la binomial cuando el número de ensayos independientes sea grande y la probabilidad de éxito sea pequeña.

Fórmula

La función de masa de probabilidad (PMF) es:

media = λ

varianza = λ

Notación

Utilice la distribución de valor extremo más pequeño para modelar el valor más pequeño de una distribución. Si Y sigue una distribución de Weibull, entonces log(Y) sigue una distribución de valor extremo más pequeño.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

Notación

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

media = 0, cuando ν > 0

Notación

La PDF de la distribución triangular tiene una forma triangular.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

La distribución uniforme caracteriza los datos en un intervalo de manera uniforme, siendo a el valor más pequeño y b el valor más grande.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

Notación

La distribución de Weibull es útil para modelar tiempos de falla de los productos.

Fórmula

La función de densidad de probabilidad (PDF) es:

La función de distribución acumulada (CDF) es:

Notación