Métodos y fórmulas para 2 varianzas

Fórmula

La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza.

Notación

Término	Description
	media de la muestra i
S2i	varianza de la muestra i
Xij	jésima medición de la iésima muestra
ni	tamaño de la muestra i

Fórmula para el estadístico de prueba

Cuando n₁ = n₂ , el estadístico de prueba es Z². Si la hipótesis nula, ρ = ρ₀ , es verdadera, entonces Z² se distribuye como una distribución de chi-cuadrada con 1 grado de libertad. Z² viene dado por:

donde ee(ρ₀) es el error estándar de la curtosis agrupada, que viene dado por:

donde r_i = ( n_i - 3) / n_i y es la curtosis agrupada, que viene dada por:

ee²(ρ₀) también se puede expresar en términos de los valores de curtosis de las muestras individuales, , de la siguiente manera:

donde:

Fórmula para el valor p

Sea z² el valor de Z² que se obtiene a partir de los datos. Bajo la hipótesis nula, H₀: ρ = ρ₀ , Z se distribuye como la distribución normal estándar. Por lo tanto, los valores p para las hipótesis alternativas (H₁) vienen dados por lo siguiente.

Notación

Término	Description
Si	la desviación estándar de la muestra i
ρ	la relación de las desviaciones estándar de las poblaciones
ρ0	la relación hipotética de las desviaciones estándar de las poblaciones
α	el nivel de significancia para la prueba = 1 - (el nivel de confianza / 100)
ni	el número de observaciones en la muestra i
	el valor de curtosis para la muestra i
Xij	la jésima observación en la muestra i
mi	la media recortada de la muestra i con proporciones de recorte de

Fórmula

Cuando n₁ ≠ n₂ , no hay estadístico de prueba. En lugar de ello, el valor p se calcula invirtiendo el procedimiento del intervalo de confianza. El valor p de la prueba viene dado por:

P = 2 min (α_L, α_U)

donde α_L es el valor más pequeño de α para el cual se cumple lo siguiente:

y α_U es el valor más pequeño de α para el cual se cumple lo siguiente:

donde c_α es una constante niveladora, que se describe a continuación, y ee(ρ₀) es el error estándar de la curtosis agrupada, que viene dado por:

donde r_i = (n_i - 3) / n_i y es la curtosis agrupada, que viene dada por:

ee(ρ₀) también se puede expresar en términos de los valores de curtosis de las muestras individuales. Para obtener más información, consulte Prueba para el método de Bonett con diseños balanceados.

Constante niveladora

La constante c_α se incluye como un ajuste de muestras pequeñas para mitigar el efecto de las probabilidades desiguales de error de cola en los diseños no balanceados. El valor de c_α viene dado por:

La constante desaparece cuando los diseños son balanceados y su efecto se vuelve insignificante con el aumento de los tamaños de las muestras.

Hallar α_L y α_U

Hallar α_L y α_U es equivalente a hallar las raíces de las funciones L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂ ) y L(z , n₂ , n₁ , S₂ , S₁ ), donde L(z , n₁ , n₂ , S₁ , S₂) viene dado por:

Sea:

Para calcular α_U, aplique los pasos anteriores utilizando la función, L(z, n₂, n₁, S₂, S₁), en lugar de la función, L(z, n₁, n₂, S₁, S₂).

Notación

Término	Description
Si	la desviación estándar de la muestra i
ρ	la relación de las desviaciones estándar de las poblaciones
ρ0	la relación hipotética de las desviaciones estándar de las poblaciones
α	el nivel de significancia para la prueba = 1 - (el nivel de confianza / 100)
zα	el punto percentil α superior de la distribución normal estándar
ni	el número de observaciones en la muestra i
Xij	la jésima observación en la muestra i
mi	la media recortada de la muestra i con proporciones de recorte de

Fórmula

Los intervalos de confianza se obtienen invirtiendo el procedimiento de la prueba. Más específicamente, Minitab resuelve la siguiente ecuación para ρ:

donde c_α/2 es una constante niveladora (descrita a continuación) y ee(ρ) es el error estándar de la curtosis agrupada (descrito a continuación). Por lo general, esta ecuación tiene dos soluciones, una solución L < S₁ / S₂ y una solución U > S₁ / S₂. L es el límite de confianza inferior y U es el límite de confianza superior. Para obtener más información, consulte el Método de Bonett, que es un artículo técnico con simulaciones y otras informaciones sobre el Método de Bonett.

Los límites de confianza para la relación de las varianzas se obtienen elevando al cuadrado los límites de confianza para la relación de las desviaciones estándar.

Constante niveladora

La constante c_α se incluye como un ajuste de muestras pequeñas para mitigar el efecto de las probabilidades desiguales de error de cola en los diseños no balanceados. El valor de c_α viene dado por:

La constante desaparece cuando los diseños son balanceados y su efecto se vuelve insignificante con el aumento de los tamaños de las muestras.

Error estándar de la curtosis agrupada

ee(ρ) es el error estándar de la curtosis agrupada, que viene dado por:

donde r_i = (n_i - 3) / n_i y es la curtosis agrupada, que viene dada por:

ee(ρ) también se puede expresar en términos de los valores de curtosis de las muestras individuales. Para obtener más información, véase la sección sobre la Prueba para el método de Bonett con diseños balanceados.

Notación

Término	Description
α	el nivel de significancia para la prueba = 1 - (el nivel de confianza / 100)
Si	la desviación estándar de la muestra i
ρ	la relación de las desviaciones estándar de las poblaciones
zα/2	el punto percentil α/2 superior de la distribución normal estándar
ni	el número de observaciones en la muestra i
Xij	la jésima observación en la muestra i
mi	la media recortada de la muestra i con proporciones de recorte de

Fórmula

La prueba de Levene es adecuada para datos continuos. La prueba de Levene no está disponible para datos resumidos.

Para probar la hipótesis nula de que σ₁ / σ₂ = ρ con la prueba de Levene, Minitab realiza un ANOVA de un solo factor con los valores Z_1j y ρZ_2j (donde j = 1, …, n₁ o n₂).

El estadístico de la prueba de Levene es igual al valor del estadístico F en la tabla ANOVA resultante. El valor p de la prueba de Levene es igual al valor p indicado en esta tabla ANOVA.

• H. Levene (1960). Contributions to Probability and Statistics. Stanford University Press, CA.
• M.B. Brown y A.B. Forsythe (1974). "Robust Tests for the Equality of Variance," Journal of the American Statistical Association, 69, 364–367.

Grados de libertad

Bajo la hipótesis nula, el estadístico de prueba sigue una distribución F con grados de libertad GL1 y GL2.

GL1 = 1

GL2 = n₁ + n₂ – 2

Notación

Fórmula

Para datos continuos, Minitab calcula los límites de confianza para la relación (ρ) entre las desviaciones estándar de las poblaciones con las siguientes fórmulas. Para obtener límites para la relación entre las varianzas de las poblaciones, eleve al cuadrado los siguientes valores.

Notación

Término	Description
ηi	la mediana de la muestra i
Zij	donde j = 1, 2, ... , ni y i = 1, 2 y Xij son observaciones individuales
Mi	la media de Zij
Si2	la varianza de la muestra de Zij
vi
ρ	σ1 / σ2
n1	el tamaño de la primera muestra
n2	el tamaño de la segunda muestra

La prueba F es adecuada para datos normales. Para probar la hipótesis nula de que σ₁ / σ₂ = ρ con la prueba F, Minitab utiliza las siguientes fórmulas.

Fórmula para el estadístico de prueba

Fórmula para los grados de libertad

Según la hipótesis nula, el estadístico F sigue una distribución F con grados de libertad GL1 y GL2.

GL1 = n₁ – 1

GL2 = n₂ – 1

Fórmula para el valor p

Notación

Cuando los datos siguen una distribución normal, Minitab calcula los límites de confianza para la relación (ρ) entre las desviaciones estándar de las poblaciones con las siguientes fórmulas. Para obtener límites para la relación entre las varianzas de las poblaciones, eleve al cuadrado los siguientes valores.

Fórmula

Cuando usted especifica una hipótesis alternativa del tipo "no es igual a", un intervalo de confianza de 100(1 – α)% para ρ viene dado por:

Cuando usted especifica una hipótesis alternativa del tipo "menor que", un límite de confianza superior de 100(1 – α)% para ρ viene dado por:

Cuando usted especifica una hipótesis alternativa del tipo "mayor que", un límite de confianza inferior de 100(1 – α)% para ρ viene dado por:

Notación