El cálculo de tamaño de la muestra, n, y distancia crítica, k, depende del número de límites de especificación dados y de si se conoce la desviación estándar.
Límite de especificación individual y desviación estándar conocida
El tamaño de la muestra viene dado por:
La distancia crítica viene dada por:
donde:
Notación
Término
Description
Z1
el (1 – p1)* 100 percentil de la distribución normal estándar
p1
el Nivel de calidad aceptable (AQL)
Z2
el (1 – p2)* 100 percentil de la distribución normal estándar
p2
el Nivel de calidad rechazable (RQL)
Zα
el percentil (1 – α) * 100 de la distribución normal estándar
α
el riesgo del consumidor
Zβ
el percentil (1 – β ) * 100 de la distribución normal estándar
β
el riesgo del productor
Límite de especificación individual y desviación estándar desconocida
La notación es la misma que para la sección de un límite de especificación individual y una desviación estándar conocida. El tamaño de la muestra viene dado por:
La distancia crítica viene dada por:
Límites de especificación dobles y desviación estándar conocida
La notación no definida a continuación es la misma que para el caso de un límite de especificación individual y una desviación estándar conocida. Primero Minitab calcula z:
Luego Minitab encuentra p* a partir de la distribución normal estándar como el área superior de la cola correspondiente a z. Esta es la probabilidad mínima de defectuosos fuera de uno de los límites de especificación.
El método que utiliza Minitab para el cálculo del tamaño de la muestra y la distancia crítica depende de este valor de p*.
Donde p1 = AQL, p2 = RQL
Si 2p* ≤ (p1/ 2), entonces las dos especificaciones están relativamente alejadas y los cálculos siguen los planes de límite individual.
Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, entonces las dos especificaciones no están relativamente alejadas, pero aún no están tan cercanas que se pueda encontrar la probabilidad mínima de defectuosos para ciertos valores de la media. Minitab realiza una iteración para encontrar el tamaño de la muestra y la distancia crítica.
Sea
μ = μ0+ m * h, donde h = σ/100
Sea m = 1, 2, ...300. Para cada μ calcule:
donde Φ es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. Si Prob (X<L) + Prob (X>U) está extremadamente cerca de p1, entonces Minitab utiliza el valor más grande entre Prob (X<L) y Prob (X>U) para encontrar el tamaño de la muestra y el número de aceptación.
Supongamos que Prob (X<L) es el valor más grande, donde pL = Prob (X<L).
El tamaño de la muestra viene dado por:
La distancia crítica viene dada por:
donde:
ZpL = the (1 – pL) * 100 percentil de la distribución normal estándar.
Si ya utilizamos todos los valores m, pero las probabilidades correspondientes no contienen p1, significa que p1 es demasiado grande y por lo tanto la media de las medidas está alejada del punto medio del intervalo [L, U]. En este caso, podemos utilizar un método para un límite de especificación individual ZpL = Z1. Z1 tiene la misma definición que en el caso del límite de especificación individual.
Si p1 < 2p* < p2, entonces las especificaciones del plan deben reconsiderarse debido a que la probabilidad mínima de resultados defectuosos determinada por medio de los dos límites de especificación y las desviaciones estándar es mayor que el nivel de calidad aceptable p1. Puede rechazar el lote o considerar un plan con una probabilidad ligeramente mayor de resultados defectuosos que p1.
Si 2p* ≥ p2, entonces el lote debe rechazarse; la probabilidad mínima de resultados defectuosos determinada por medio de dos límites de especificación y la desviación estándar es mayor que el nivel de calidad para rechazo. Puede rechazar el lote sin probar ningún producto.
Notación
Término
Description
L
el límite de especificación inferior
U
el límite de especificación superior
σ
la desviación estándar conocida
Límites de doble especificación y desviación estándar desconocida
La notación es la misma que para las secciones anteriores. Minitab permite que la distancia crítica sea el valor como se da en el caso de dos planes de límite individual separados:
El tamaño de la muestra viene dado por:
Si n > 2, entonces Minitab calcula la MSD con los siguientes pasos1.
Sea
Entonces,
donde Beta es la función de distribución acumulada de una distribución beta con los parámetros de forma a y b. Aquí, .
Definir
Entonces,
donde Beta-1 es la función de distribución acumulada inversa de la distribución beta del paso 2.
Si n ≤ 2, la Desviación estándar máxima (MSD) es incalculable.
Límites de doble especificación y desviación estándar desconocida (procedimiento de Wallis)
La notación es la misma que para las secciones anteriores. El siguiente procedimiento se puede encontrar en el libro de Schilling.2
Primero Minitab permite que la distancia crítica sea el valor como se da en el caso de dos planes de límite individual separados:
Entonces Minitab encuentra el área superior de la cola a partir de la distribución normal estándar, p*, correspondiente a k como el percentil; y el percentil Zp** a partir de la distribución normal estándar correspondiente al área superior de la cola de p* / 2.
La desviación estándar máxima (MSD) viene dada por:
La desviación estándar estimada viene dada por:
Minitab prueba si la desviación estándar estimada, s, es menor que o igual a la MSD.
Si la desviación estándar estimada, s, es menor que o igual a la MSD, entonces:
Si la desviación estándar estimada, s, no es menor que o igual a la MSD, entonces la desviación estándar es demasiado larga para cumplir con los criterios de aceptación y usted debe rechazar el lote.
Notación
Término
Description
Xi
la iésima medición
la media de las mediciones reales
Probabilidad de aceptación
Sea p la probabilidad de defectuoso, que es el valor de X de un punto en una curva OC.
Límite de especificación individual y desviación estándar conocida
Límite de especificación inferior individual y desviación estándar conocida
Prob (X < L) = p.
Límite de especificación superior individual y desviación estándar conocida
Prob (X > L) = p.
Límite de especificación individual y desviación estándar desconocida
Límites de especificación dobles y desviación estándar conocida
Primero Minitab calcula z
Luego encuentra p* a partir de la distribución normal estándar como el área superior de la cola correspondiente a z. Esta es la probabilidad mínima de defectuosos fuera de uno de los límites de especificación.
El método que utiliza Minitab para la probabilidad de aceptación depende de este valor de p*.
Sean p1 = AQL, p2 = RQL
Si 2p* ≤ (p1/ 2), entonces las dos especificaciones están relativamente alejadas y los cálculos para tamaño de la muestra y distancia crítica siguen los planes de límite individual.
Si p1/ 2 < 2p* ≤ p1, entonces las dos especificaciones no están relativamente alejadas, pero aún no están tan cercanas que se pueda encontrar la probabilidad mínima de defectuosos para ciertos valores de la media.
Para cualquier p dada, Minitab encuentra la media, μ, de las mediciones utilizando un algoritmo de búsqueda en cuadrícula. Luego,
Límites de especificación dobles y desviación estándar desconocida
Cuando usted tiene los límites de especificación tanto superior como inferior, pero no conoce la desviación estándar, Minitab utiliza la curva OC para el plan de límite individual para aproximar el caso de límites de especificación dobles. La curva OC derivada para un plan de límite individual con p1, p2, α y β especificados es el límite inferior de la banda de curvas OC para un plan de especificación bilateral con los mismos p1, p2, α y β, y para la mayoría de los casos prácticos se puede tomar como la curva OC para el plan bilateral. Véase Duncan1.
Duncan (1986). Quality Control and Industrial Statistics, 5th edition.
Notación
Término
Description
n
tamaño de la muestra
k
distancia crítica
σ
desviación estándar conocida
Zp
el percentil (1 - p) de la distribución normal estándar
Φ
la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar
T
es distribución t de no normalidad con grados de libertad = n – 1, y el parámetro de no centralidad,
L
límite de especificación inferior
U
límite de especificación superior
Probabilidad de rechazo
La probabilidad de rechazo (Pr) describe la posibilidad de rechazar un lote en particular con base en un plan de muestreo y proporción de defectuosos entrante específicos. Es sencillamente 1 menos la probabilidad de aceptación.
Pr = 1 – Pa
donde:
Pa = probabilidad de aceptación
Calidad saliente promedio (AOQ)
La calidad saliente promedio representa el nivel de calidad del producto después de la inspección. La calidad saliente promedio varía a medida que varía la fracción de defectuosos entrante.
Notación
Término
Description
Pa
probabilidad de aceptación
p
fracción de defectuosos entrante
N
tamaño del lote
n
tamaño de la muestra
Inspección total promedio (ATI)
La inspección total promedio representa el número de unidades promedio que se inspeccionarán para un nivel de calidad entrante particular y la probabilidad de aceptación.
Notación
Término
Description
Pa
probabilidad de aceptación
N
tamaño del lote
n
tamaño de la muestra
Región de aceptación (AR) - Procedimiento predeterminado
La región de aceptación se calcula solo cuando se proporcionan ambas especificaciones y se desconoce la desviación estándar. Vaya a la sección del tamaño de la muestra y distancia crítica para buscar las definiciones para n y k, respectivamente, y para ver la notación de las ecuaciones.
En la gráfica de región de aceptación, el eje X es la media de la muestra y el eje Y es la desviación estándar de la muestra. La región de aceptación está conformada por 3 funciones de la desviación estándar de la muestra y la media de la muestra, además de la desviación estándar máxima (MSD). Para cualquier valor de la media de la muestra en que el valor de la desviación estándar supera la MSD, el límite superior de la región de aceptación es la MSD.
Para los casos que están cerca de los límites de especificación superior o inferior, la región de aceptación está delimitada por estas dos funciones:
A medida que los valores de la media de la muestra se aproximan al medio de los límites de especificación, las coordenadas del límite superior de la región de aceptación se calculan mediante los siguientes pasos:
Permita que .
Entonces donde Beta es la función de distribución acumulada de una distribución beta con los parámetros de forma a y b. Aquí, .
Definir pares de proporciones p01 y p02, que satisfagan p02 + p01 = p*
A continuación,
donde Beta-1 es la función de distribución acumulada inversa de la distribución beta del paso 2.
Para , las coordenadas de la media y la desviación estándar se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
Región de aceptación (AR) - Procedimiento Wallis
Los siguientes cálculos son para casos cuando el análisis tiene ambas especificaciones pero la desviación estándar es desconocida. El procedimiento se puede encontrar en el libro de Schilling.2
En esta gráfica, el eje x muestra los valores de la media de muestra () y el eje y muestra los valores de la desviación estándar. En combinación con el eje x, las siguientes líneas forman un triángulo de aceptación.
La línea punteada y el eje X forman una región más precisa. Utilice los siguientes pasos para formar la línea punteada.
Establezca p* como el área superior de cola a partir de la distribución normal estándar con la distancia crítica como el percentil: P(Z > k).
Seleccionar valores de p01 y p02, que satisfagan p02 + p01 = p*:
p01 = (p* / 100) * h
p02 = (p* / 100) * (100 - h)
donde h toma los valores 1 a 00.
Utilice las siguientes ecuaciones para definir las coordenadas X y Y:
Notación
Término
Description
L
Límite de especificación inferior
U
Límite de especificación superior
k
Distancia crítica
Zp01
el (1 - p01)* 100 percentil de la distribución normal estándar
02
el (1 - p02)* 100 percentil de la distribución normal estándar
p01
(p* / 100) * h
p02
(p* / 100) * (100 – h)
1 Duncan, A. J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics (5th ed.). Homewood, Ill: Irwin.
2 Schilling y Neubauer (2009). Acceptance Sampling in Quailty Control (2nd ed.)
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donde Beta es la función de distribución acumulada de una distribución beta con los parámetros de forma a y b. Aquí, 
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, las coordenadas de la media y la desviación estándar se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
) y el eje y muestra los valores de la desviación estándar. En combinación con el eje x, las siguientes líneas forman un triángulo de aceptación.
