Métodos y fórmulas para Gráfica de T²

Seleccione el método o la fórmula de su preferencia.

Puntos graficados

Datos en subgrupos

Cuando los datos están en subgrupos, T2 se calcula de la siguiente manera:

donde:

es el vector medio de (media de los valores xjk), que se calcula de la siguiente manera:

S = matriz de covarianzas de la muestra

La matriz de covarianzas de la muestra, S, se calcula de la siguiente manera:

donde:

donde:

, la varianza de la muestra para la jésima característica en la késima muestra, se calcula de la siguiente manera:

donde:

donde:

, la covarianza, =

El promedio de las matrices S es una estimación sin sesgo de la varianza cuando el proceso está bajo control. n debe ser mayor que p y no debe haber correlaciones fuertes entre las variables, de forma que la matriz de covarianzas de la muestra no sea singular.

Observaciones individuales

Cuando los datos son observaciones individuales, T2 se calcula de la siguiente manera:

donde:

donde:

Notación

TérminoDescription
ntamaño de la muestra
vector medio de la muestra
xijkla iésima observación en la jésima característica en la késima muestra
mnúmero de muestras

Ejemplo de cómo calcular T2

Minitab grafica el estadístico T2 en una gráfica de control. Si un punto graficado excede los límites de control, el proceso está fuera de control en ese punto. Véase la tabla y ecuaciones de la muestra como referencia en los cálculos de Minitab.

Los siguientes datos provienen de un proceso de desarrollo de una solución de limpieza. Las cantidades de citrato de sodio y glicerina afectan la potencia de la solución.

  Medias de subgrupo Varianzas y covarianzas Estadístico T2
Subgrupo Citrato de sodio (X1) Glicerina (X2) S 1 2 S2 2 S 1 2 k T2
1 125 025 7292 8692 5791 5708
2 625 4 2292 2333 3333 1429
3 4 875 1467 0625 8000 9528
4 2 2 2933 7600 6667 8073
5 25 225 2500 2692 7917 7548
6 4 45 6667 9567 3333 2711
7 275 025 3692 4692 7108 7785
8 6 65 4333 7700 6933 6183
9 625 325 7892 5558 1325 3592
10 3 5 2867 9467 2600 4942
11 25 5 1767 1200 9000 3279
12 1 625 1467 1692 4033 0277
Promedios 7875 2333 7931 9318 3003  
  1. Calcule las medias de los subgrupos para cada variable, X1 y X2. En este caso, cada subgrupo tenía cuatro muestras.
  2. Si usted tiene observaciones individuales, Minitab las utiliza en lugar de las medias de los subgrupos en todos los cálculos.
  3. Calcule las varianzas de los subgrupos S1 2 y S2 2.
  4. Calcule las covarianzas de los subgrupos S1 2 k.
  5. Calcule las medias de las medias de los subgrupos, las medias de las varianzas de los subgrupos y la media de las covarianzas.
  6. Designe la matriz S de covarianza de la muestra y el vector medio.
  7. Calcule T2, que viene dada por:

Minitab grafica T2 en la gráfica T2 y la compara con los límites de control para determinar si los puntos individuales están fuera de control.

Línea central

La línea central de la gráfica T2 es KX. El cálculo de K y X depende del máximo tamaño de las muestras y de si Minitab estima la matriz de covarianzas a partir de los datos.

Datos en subgrupos

Cuando los datos están en subgrupos, KX se calcula de la siguiente manera:

Dada la matriz de covarianzas
Matriz de covarianzas estimada

Observaciones individuales

Cuando los datos son observaciones individuales, KX se calcula de la siguiente manera:

Dada la matriz de covarianzas
Matriz de covarianzas estimada

donde:

Notación

TérminoDescription
Pnúmero de variables
Mnúmero de subgrupos
Ntamaño de la muestra
la distribución F acumulada inversa con u grados de libertad del numerador y v grados de libertad del denominador
la distribución beta acumulada inversa con el primer parámetro de forma α y el segundo parámetro de forma β

Límite de control

Datos en subgrupos

El límite de control superior si usted no especifica parámetros es:

El límite de control superior si usted especifica parámetros es:

Observaciones individuales

El límite de control superior si usted no especifica parámetros es:

donde:

Véase Woodall et al.1 para obtener más información.

El límite de control superior si usted especifica parámetros es:

Notación

TérminoDescription
αvalor fijo de 0.00134989803156746
pnúmero de características
m

Para datos en subgrupos, si usted no especifica las estimaciones de los parámetros, entonces m es el número de muestras. Si proporciona las estimaciones de los parámetros, entonces m es el número de muestras utilizadas para crear la matriz de covarianza.

Para datos individuales, m es el número de observaciones.

ntamaño de cada muestra
Findica que se utiliza la distribución F
Bindica que se utiliza la distribución beta

Estadístico de T2 descompuesta

Estadístico de T2 descompuesta:

donde:

donde:

xi(p − 1)es el vector medio descompuesto

Sxx es la submatriz principal (p – 1) × (p – 1) de S

T2p|1,..., p−1 es una aproximación que difiere por fases y si usted tiene subgrupos u observaciones individuales:

Fase 1 para datos en subgrupos:

Fase 2 para datos en subgrupos:

Fase 1 para observaciones individuales:

Fase 2 para observaciones individuales:

Minitab calcula los límites de control de la fase 1 cuando usted no especifica las estimaciones de los parámetros y los límites de control de la fase 2 cuando sí los especifica.

Véase Mason et al.2 para obtener más información sobre el estadístico de T2 descompuesta.

Notación

TérminoDescription
mnúmero de muestras
Findica que se utiliza la distribución F
Bindica que se utiliza la distribución beta

Métodos y fórmulas para Box-Cox

Fórmula de Box-Cox

Si usted utiliza una transformación de Box-Cox, Minitab transforma los valores de los datos originales (Yi) de acuerdo con la siguiente fórmula:

donde λ es el parámetro de la transformación. Luego Minitab crea una gráfica de control con los valores de los datos transformados (Wi). Para enterarse de cómo Minitab elige el valor óptimo para λ, vaya a Métodos y fórmulas para Transformación de Box-Cox.

Valores comunes de λ

La siguiente tabla muestra algunos valores de λ utilizados comúnmente y sus transformaciones.
λ Transformación
2
0.5
0
−0.5
−1
1 J. H. Woodall y W.H. Sullivan (1996). "A Comparison of Multivariate Control Charts for Individual Observations", Journal of Quality Technology, 28 (4), 398-408.
2 R. L. Mason, N. D. Tracy y J. C. Young. (1995). "Decomposition of T 2 for Multivariate Control Chart Interpretation," Journal of Quality Technology , 27, abril, 99-108.
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