Métodos para Ajustar modelo de regresión

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Regresión ponderada

La regresión de mínimos cuadrados ponderados es un método para tratar las observaciones que tienen varianzas no constantes. Si las varianzas no son constantes, a las observaciones con:

  • a las grandes varianzas se les debe ofrecer ponderaciones relativamente pequeñas
  • a las pequeñas varianzas se les debe ofrecer ponderaciones relativamente grandes

La elección de ponderaciones generalmente es la inversa de la varianza de error puro en la respuesta.

La fórmula de los coeficientes estimados es como sigue:
Esto equivale a minimizar el error de SC ponderado.

Notación

TérminoDescription
Xmatriz de diseño
X'transpuesta de la matriz de diseño
Wuna matriz n x n con las ponderaciones en la diagonal
Yvector de valores de respuesta
nnúmero de observaciones
wiponderación de la iésima observación
yivalor de respuesta de la iésima observación
valor ajustado de la iésima observación

Transformación de Box-Cox

La transformación de Box Cox selecciona los valores de lambda, como se muestra a continuación, que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos. La transformación resultante es Y λ cuando λ ≠ 0 y ln(Y) cuando λ = 0. Cuando λ < 0, Minitab también multiplica la respuesta transformada por −1 para mantener el orden de la respuesta no transformada.

Minitab busca un valor óptimo entre −2 y 2. Los valores que estén fuera de este intervalo podrían no producir un mejor ajuste.

Las siguientes son algunas transformaciones comunes donde Y′ es la transformación de los datos Y:

Valor de lambda (λ) Transformación
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0.5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0.5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Ecuación de regresión

Para un modelo con múltiples predictores, la ecuación es:

y = β0 + β1x1 + … + βkxk + ε

La ecuación ajustada es:

En la regresión lineal simple, que incluye solo un predictor, el modelo es:

y=ß0+ ß1x1+ε

Utilizando las estimaciones de regresión b0 para ß0 y b1 para ß1, el ecuación ajustada es:

Notación

TérminoDescription
yrespuesta
xkkésimo término. Cada término puede ser un solo predictor, un término polinómico o un término de interacción.
ßkkésimo coeficiente de regresión de la población
εtérmino de error que sigue una distribución normal con una media de 0
kestimación del késimo coeficiente de regresión de la población
respuesta ajustada

Matriz de diseño

La matriz de diseño contiene los predictores en una matriz (X) con n filas, donde n es el número de observaciones. Hay una columna para cada coeficiente del modelo.

Los predictores categóricos se codifican utilizando la codificación 1, 0 ó -1, 0, 1. X no incluye una columna para el nivel de referencia del factor.

Para calcular las columnas de un término de interacción, multiplique todos los valores correspondientes de los predictores incluidos en la interacción. Por ejemplo, supongamos que la primera observación tiene un valor de 4 para el predictor A y un valor de 2 para el predictor B. En la matriz de diseño, la interacción entre A y B se representa como 8 (4 x 2).

Inversa de x'x

Una matriz p x p, donde p es el número de coeficientes del modelo. Al multiplicar la inversa de x'x por el MSE, se obtiene la matriz de varianzas-covarianzas de los coeficientes. Minitab también utiliza la inversa de x'x para calcular los coeficientes de regresión y la matriz de sombrero.

Cómo elimina Minitab los predictores muy correlacionados de la ecuación de regresión en Ajustar modelo de regresión

Sea rij el elemento de la matriz con barrido actual asociada con Xi y Xj.

Las variables se ingresan o se eliminan una a la vez. Xk es elegible para ingreso si es una variable independiente que no se encuentra actualmente en el modelo con rkk ≥ 1 (tolerancia con un valor predeterminado de 0.0001) y también para cada variable Xj que se encuentra actualmente en el modelo,

Para eliminar los predictores muy correlacionados de una ecuación de regresión, Minitab realiza los siguientes pasos:
  1. Minitab aplica el método SWEEP (barrido) a la matriz de correlación, R, tratando a X1 … Xp como si fueran variables aleatorias.
  2. Para cualquier predictor continuo, Minitab compara el elemento rkk con la tolerancia; rkk ≥ tolerancia, donde k = 1 hasta p.
  3. Para cada variable Xj actualmente en el modelo, Minitab verifica que (rjj – rjk * (rkj / rkk)) * tolerancia ≤ 1.
    Nota

    Donde rkk, rjk, rjj son los elementos diagonales y fuera de la diagonal correspondientes para la variable Xj y Xk después de las operaciones SWEEP del paso k.

  4. De lo contrario, el predictor no pasa la prueba y es eliminado del modelo.
    Nota

    El valor de tolerancia predeterminado es 8.8e–12.

Nota

Usted puede usar el subcomando TOLERANCE con el comando de sesión REGRESS para hacer que Minitab mantenga en el modelo un predictor que esté muy correlacionado con otro predictor. Sin embargo, bajar la tolerancia podría ser peligroso debido a la posibilidad de que se produzcan resultados numéricamente inexactos.

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