Métodos y fórmulas para ajustes y residuos en Regresión de mínimos cuadrados parciales

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Valores ajustados

La Y pronosticada o es el valor de respuesta medio para los valores predictores dados utilizando la ecuación de regresión estimada.

Valores ajustados con validación cruzada

Los valores ajustados con validación cruzada indican qué tan bien el modelo predice los datos. Estos valores son similares a los valores ajustados ordinarios, que indican qué tan bien se ajusta el modelo a los datos. Para obtener el valor ajustado con validación cruzada para una observación, esta se debe retirar de los datos utilizados para calcular el modelo y luego se calcula el ajuste con el vector de coeficiente que es independiente de la observación. La fórmula para los valores ajustados con validación cruzada es la siguiente:

Notación

TérminoDescription
\iIndica que la observación i se excluyó del cálculo del modelo
b0\ila intersección del modelo que no incluye la observación i
Xlos valores predictores
B(\i)(j, k) los coeficientes del modelo que no incluye la observación i

Residuos

El residuo es la diferencia entre un valor observado y el valor ajustado correspondiente. Esta parte de la observación no es explicada por el modelo. El residuo de una observación es:

Notación

TérminoDescription
yivalor de la iésima respuesta observada
iésimo valor ajustado para la respuesta

Residuos con validación cruzada

Los residuos con validación cruzada miden la capacidad predictiva del modelo y se utilizan para calcular el estadístico PRESS. Los residuos con validación cruzada en la regresión PLS y la regresión de mínimos cuadrados son conceptualmente similares, pero se calculan de manera diferente.

Fórmula

En PLS, los residuos con validación cruzada son las diferencias entre las respuestas reales y los valores ajustados con validación cruzada.

El valor del residuo con validación cruzada varía según la cantidad de observaciones que se omiten cada vez que se vuelve a calcular el modelo durante la validación cruzada.

En la regresión de mínimos cuadrados, los residuos con validación cruzada se calculan directamente a partir de los residuos ordinarios.

Notación

TérminoDescription
(i) observación omitida del cálculo del modelo
yi valor de respuesta
valor ajustado con validación cruzada

Residuo estandarizado (Residuo est.)

Los residuos estandarizados también se denominan residuos "studentizados internamente".

Fórmula

Notación

TérminoDescription
ei i ésimo residuo
hi i ésimo elemento diagonal de X(X'X)–1X'
s2 cuadrado medio del error
Xmatriz de diseño
X'transpuesta de la matriz de diseño

Error estándar de los valores ajustados (EE de ajuste)

El error estándar del valor ajustado en un modelo de regresión con un predictor es:

El error estándar del valor ajustado en un modelo de regresión con más de un predictor es:

Notación

TérminoDescription
s2cuadrado medio del error
nnúmero de observaciones
x0nuevo valor del predictor
media del predictor
xiiésimo valor predictor
x0 vector de valores que produce los valores ajustados, uno para cada columna en la matriz de diseño, comenzando con un 1 para el término constante
x'0transpuesta del nuevo vector de valores predictores
Xmatriz de diseño

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza es el rango en el que se espera que se encuentre la respuesta media estimada para un conjunto dado de valores predictores. El intervalo es definido por los límites inferior y superior, que Minitab calcula a partir del nivel de confianza y el error estándar de los ajustes.

Fórmula

Notación

TérminoDescription
α valor alfa
n número de observaciones
p número de predictores
s 2 cuadrado medio del error
S 2(b)matriz de varianzas-covarianzas de los coeficientes

Intervalo de predicción

El intervalo de predicción es el rango en el que se espera que se encuentre la respuesta ajustada para una nueva observación.

Fórmula

Notación

TérminoDescription
s(Pred)
valor de respuesta ajustado para un conjunto dado de valores predictores
α nivel de significancia
n número de observaciones
p número de parámetros del modelo
s2 cuadrado medio del error
X matriz de predictores
X0 matriz de valores predictores dados
X'0transpuesta del nuevo vector de valores predictores
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