Métodos y fórmulas para el análisis de varianza en Analizar variabilidad

Suma de los cuadrados (SC)

La suma de distancias cuadradas. Las fórmulas presentadas son para un modelo factorial completo de dos factores con factores A y B. Estas fórmulas se pueden extender a modelos con más de dos factores. Para obtener más información, véase Montgomery1.

La SC total es la variación total en el modelo. SC (A) y SC (B) son la suma de las desviaciones cuadradas de las medias de niveles de factores estimadas alrededor de la media general. El error de SC es la suma de los residuos cuadráticos. Esto se conoce también como un error en los tratamientos. Los cálculos son:

Si el modelo incluye réplicas, SC de Error puro es:
Para casos diferentes del modelo factorial completo de dos factores, usted puede tener otras sumas de cuadrados. Si ajusta un modelo reducido, Falta de ajuste de SC es:
Si el modelo incluye los puntos centrales, Curvatura de SC es:
En diseños de parcela dividida, las sumas de cuadrados para variación de parcela completa y de error para parcela subdividida son:
  1. D.C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition, John Wiley & Sons.

Notación

TérminoDescription
anúmero de niveles en el factor A
bnúmero de niveles en el factor B
nnúmero total de réplicas
media del iésimo nivel del factor A
media general de todas las observaciones
media del jésimo nivel del factor B
observación en el iésimo nivel del factor A, jésimo nivel del factor B y la késima réplica
media del iésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B
respuesta media de puntos centrales
respuesta media para puntos factoriales
nFnúmero de puntos factoriales

Suma secuencial de los cuadrados

Minitab desglosa el componente SC Regresión o Tratamientos de la varianza en las sumas secuenciales de los cuadrados para cada factor. Las sumas secuenciales de los cuadrados dependen del orden en que los factores o predictores se ingresan en el modelo. Las sumas secuenciales de cuadrados es la porción única de la SC Regresión explicada por un factor, dados los factores ingresados previamente.

Por ejemplo, si se tiene un modelo con tres factores o predictores, X1, X2 y X3, la suma secuencial de cuadrados para X2 muestra qué proporción de la variación restante puede explicar X2, dado que X1 ya se encuentra en el modelo. Para obtener una secuencia diferente de factores, repita el análisis e ingrese los factores en un orden diferente.

Suma ajustada de los cuadrados

Las sumas ajustadas de los cuadrados no dependen del orden en que los términos se ingresan en el modelo. La suma ajustada de los cuadrados es la cantidad de variación explicada por un término, dados todos los otros términos estén incluidos en el modelo, independientemente del orden en que se ingresen los términos en el modelo.

Por ejemplo, si usted tiene un modelo con tres factores, X1, X2 y X3, la suma ajustada de los cuadrados para X2 muestra la proporción de la variación restante que es explicada por el término para X2, dado que los términos para X1 y X3 también se encuentren en el modelo.

Los cálculos de las sumas ajustadas de los cuadrados para tres factores son:

  • SSR(X3 | X1, X2) = SSE (X1, X2) - SSE (X1, X2, X3) o
  • SSR(X3 | X1, X2) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1, X2)

donde SSR(X3 | X1, X2) es la suma ajustada de los cuadrados para X3, dado que X1 y X2 estén en el modelo.

  • SSR(X2, X3 | X1) = SSE (X1) - SSE (X1, X2, X3) o
  • SSR(X2, X3 | X1) = SSR (X1, X2, X3) - SSR (X1)

donde SSR(X2, X3 | X1) es la suma ajustada de los cuadrados para X2 y X3, dado que X1 esté en el modelo.

Usted puede ampliar estas fórmulas si tienen más de 3 factores en el modelo1.

  1. J. Neter, W. Wasserman y M.H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Grados de libertad (GL)

Para un diseño factorial completo con factores A y B y una variable de bloqueo, el número de grados de libertad asociado con cada suma de cuadrados es:

Para interacciones entre factores, multiplique los grados de libertad de los términos en los factores. Por ejemplo, si los factores son A y B, entonces la interacción AB tiene estos grados de libertad:
Para hallar los grados de libertad de un tipo de término, sume los grados de libertad de los términos. Por ejemplo, si los factores son A y B, entonces los efectos principales en el modelo tienen esta cantidad de grados de libertad:

Notación

TérminoDescription
anúmero de niveles en el factor A
bnúmero de niveles en el factor B
cnúmero de bloques
nnúmero total de observaciones
ninúmero de observaciones para la iésima combinación de nivel de factores
mnúmero de combinaciones de nivel de factores
pnúmero de coeficientes

CM Ajust. – Término

El cálculo de Cuadrado medio (CM) para el término del modelo es:

F

Una prueba para determinar si los efectos principales y de interacción son significativos. La fórmula para los términos del modelo es:

Los grados de libertad para la prueba son:

  • Numerador = grados de libertad para el término
  • Denominador = grados de libertad para el error

Valores más grandes de F apoyan rechazar la hipótesis nula de que no hay un efecto significativo.

Para diseños balanceados de parcelas divididas, el estadístico F para factores difíciles de cambiar utiliza los CM para el error de parcela completa en el denominador. Para otros diseños de parcelas divididas, Minitab usa una combinación lineal del Error de PC y el Error de PD para construir un denominador que se base en los cuadrados medios esperados.

Valor p – Tabla Análisis de varianza

Este valor p general del modelo es para la prueba de la hipótesis nula de que todos los coeficientes que están en el modelo son iguales a cero, excepto por el coeficiente constante. El valor p es una probabilidad que se calcula a partir de una distribución F con los grados de libertad (GL) que se indican a continuación:

GL del numerador
suma de los grados de libertad para el término o los términos en la prueba
GL del denominador
grados de libertad para el error

Fórmula

1 − P(Ffj)

Notación

TérminoDescription
P(Ff)función de distribución acumulada para la distribución F
festadístico F para la prueba

Prueba de falta de ajuste de error puro

Para calcular la prueba de falta de ajuste de error puro, Minitab calcula:
  1. La suma de las desviaciones al cuadrado de la respuesta con respecto a la media en cada conjunto de réplicas y las suma juntas para crear la suma de los cuadrados del error puro (SC EP).
  2. El cuadrado medio del error puro

    donde n = número de observaciones y m = número de distintas combinaciones del nivel x

  3. La suma de los cuadrados de la falta de ajuste
  4. El cuadrado medio de la falta de ajuste
  5. Los estadísticos de prueba

Los valores F y los valores p pequeños sugieren que el modelo es inadecuado.

Valor p – Prueba de falta de ajuste

This p-value is for the test of the null hypothesis that the coefficients are 0 for any terms that are possible to estimate from these data that are not in the model. El valor p es la probabilidad de una distribución F con los grados de libertad (GL) que si indican a continuación:
GL del numerador
grados de libertad para la falta de ajuste
GL del denominador
grados de libertad para el error puro

Fórmula

1 − P(Ffj)

Notación

TérminoDescription
P(Ffj)función de distribución acumulada para la distribución F
fjestadístico F para la prueba
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