Veranschaulichung des zentralen Grenzwertsatzes

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%CLT

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Der zentrale Grenzwertsatz besagt Folgendes: Wenn wiederholt Zufallsstichproben mit dem Umfang n aus einer Grundgesamtheit mit einem endlichen Mittelwert Mu(y) und einer endlichen Standardabweichung Sigma(y) gezogen werden, entspricht die Verteilung der Stichprobenmittelwerte bei einem großen n annähernd der Normalverteilung mit dem Mittelwert Mu(y) und der Standardabweichung (Sigma(y))/Quadratwurzel(n).

Die Auswirkungen des zentralen Grenzwertsatzes sollen anhand des folgenden Versuchs veranschaulicht werden. Angenommen, Sie werfen einen „fairen Würfel“ 1000 Mal. Dabei können Sie erwarten, dass die 1, die 2 usw. ungefähr gleich häufig geworfen werden. Untersuchen Sie die Verteilung der 1000 Würfe. Dies ist in Grafik 1 abgebildet.

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Nehmen Sie nun an, dass Sie den Würfel zweimal werfen und daraus den Mittelwert ermitteln. Sie wiederholen dieses Experiment ebenfalls 1000 Mal. Betrachten Sie die Verteilung der Mittelwerte von jeweils zwei Würfen. Dies ist in Grafik 2 abgebildet.

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Ist Ihnen aufgefallen, dass die Verteilung der Durchschnittswerte mit nur zwei Würfen bereits hügelförmig ist? Angenommen, Sie werfen nun den Würfel dreimal und nehmen den Durchschnitt der drei Würfe. Auch diesen Versuch wiederholen Sie 1000 mal. Betrachten wir, wie sich dies auf die Verteilung der Durchschnittswerte auswirkt. Dies ist in Grafik 3 abgebildet.

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Erneut ist die Form der Verteilung ziemlich nah an einer Normalverteilung. Haben Sie andere Veränderungen der Verteilung bemerkt?

Werfen Sie den Würfel nun fünfmal, und nehmen Sie den Durchschnitt. Auch diesen Versuch wiederholen Sie 1000 mal. Dies ist in Grafik 4 abgebildet.

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Konnten Sie bereits Muster im Verhalten der Verteilung erkennen?

Steigern Sie die Anzahl der Würfe, aus denen Sie den Mittelwert nehmen. Dieses Mal werfen Sie den Würfel 10 Mal, und Sie berechnen den Durchschnitt dieser 10 Würfe. Dies ist in Grafik 5 abgebildet.

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Mit einer steigender Anzahl von Würfen sollten zwei Phänomene in Erscheinung treten. Erstens sollte Ihnen auffallen, dass sich die Verteilung der Durchschnittswerte der Form einer Normalverteilung annähert. Zweitens sollten Sie feststellen können, dass die Verteilung mit einer zunehmenden Anzahl von Würfen stetig schmaler wird. Steigern Sie die Anzahl der Würfe noch einmal. Dieses Mal werfen Sie den Würfel 20 Mal. Dies ist in Grafik 6 abgebildet.

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Inzwischen sollten Sie von dem Effekt überzeugt sein, den das Steigern des Stichprobenumfangs auf die Verteilung der Stichprobenmittelwerte ausübt. Um diesen Aspekt noch weiter zu vertiefen, erhöhen Sie den Stichprobenumfang ein weiteres Mal. Dieses Mal werfen Sie den Würfel 30 Mal. Dies ist in Grafik 7 abgebildet.

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Rekapitulieren Sie, was Sie gesehen haben.

Sie werden nun die Histogramme für Stichproben mit den Umfängen 2, 5, 10, 20 und 30 in einem gemeinsamen Diagramm zeichnen, um die Änderungen der Verteilung zu veranschaulichen.

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Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, was Sie theoretisch gesehen haben sollten. Vergleichen Sie dies mit dem, was Sie tatsächlich gesehen haben:

Theoretical Results Observed Results ------------------- ---------------- Sample Standard Standard Size Mean Deviation Mean Deviation ------ ---- --------- ----- --------- 1 3,5 1,707825 3,453 1,7041 2 3,5 1,207615 3,527 1,2320 3 3,5 0,986013 3,546 0,9503 5 3,5 0,763763 3,481 0,7532 10 3,5 0,540062 3,506 0,5289 20 3,5 0,381879 3,510 0,3891 30 3,5 0,311805 3,507 0,3148