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Ein Qualitätstechniker bei einem Hersteller von Autoteilen möchte die Streuung in der Stärke von runden Metallunterlegscheiben untersuchen. Er beabsichtigt, eine Stichprobe von Unterlegscheiben zu messen und ein Toleranzintervall zu berechnen, das 95 % der Grundgesamtheit umfasst. Bei einer kleinen Stichprobe ist der akzeptable Höchstprozentsatz der Grundgesamtheit im Intervall unter Umständen zu groß, und das Toleranzintervall kann die Streuung in der Stärke der Unterlegscheiben stark überschätzen. Ausgehend von historischen Daten nimmt der Techniker an, dass die Daten normalverteilt sind.
Der Techniker möchte den Umfang der Stichprobe der zu messenden Unterlegscheiben bestimmen, um akzeptable Höchstprozentsätze der Grundgesamtheit im Intervall von 96 % und 97 % für das Toleranzintervall zu erhalten. Der Techniker möchte außerdem die akzeptablen Höchstprozentsätze für Stichprobenumfänge von 50 und 100 Unterlegscheiben ermitteln. Er kann annehmen, dass die Daten normalverteilt sind.
Wenn die Normalverteilungsmethode verwendet wird, muss der Techniker zum Erreichen eines akzeptablen Höchstprozentsatzes der Grundgesamtheit im Intervall von 96 % insgesamt 2.480 Beobachtungen erfassen. Bei 2.480 Beobachtungen beläuft sich die Wahrscheinlichkeit, dass eine Abdeckung des Toleranzintervalls 96 % der Grundgesamtheit überschreitet, auf lediglich 0,05.
Wenn der Techniker keine Normalverteilung annehmen kann, sind die resultierenden Stichprobenumfänge bei der verteilungsfreien Methode viel größer.
| Konfidenzniveau | 95% |
|---|---|
| Mindestprozentsatz der Grundgesamtheit in Intervall | 95% |
| Wahrscheinlichkeit, dass die Abdeckung der Grundgesamtheit p* überschreitet | 0,05 |
| P* | Normalverteilungsmethode | Verteilungsfreie Methode | Erreichte Konfidenz | Erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit |
|---|---|---|---|---|
| 96,000% | 2480 | 4654 | 95,0% | 0,049 |
| 97,000% | 525 | 1036 | 95,1% | 0,048 |
Wenn der Techniker keine Normalverteilung annehmen kann, sind die akzeptablen Höchstprozentsätze der Grundgesamtheit bei der verteilungsfreien Methode größer.
Der Techniker könnte entscheiden, dass der akzeptable Höchstprozentsatz zu groß ist, und die Analyse mit größeren Stichprobenumfängen erneut ausführen, um auf diese Weise den akzeptablen Höchstprozentsatz zu reduzieren. So könnte er beispielsweise 250 Unterlegscheiben oder 400 Unterlegscheiben messen. Dem Techniker ist jedoch aus der ersten Analyse bekannt, dass bei Annahme einer Normalverteilung mindestens 525 Unterlegscheiben benötigt werden, um eine Wahrscheinlichkeit von 5 % zu erzielen, dass das Toleranzintervall höchstens 97 % der Grundgesamtheit enthält.
| Konfidenzniveau | 95% |
|---|---|
| Mindestprozentsatz der Grundgesamtheit in Intervall | 95% |
| Wahrscheinlichkeit, dass die Abdeckung der Grundgesamtheit p* überschreitet | 0,05 |
| Stichprobenumfang | Normalverteilungsmethode | Verteilungsfreie Methode | Erreichte Konfidenz |
|---|---|---|---|
| 50 | 99,4015% | 99,2846% | 72,1% |
| 100 | 98,6914% | 99,6435% | 96,3% |
| Stichprobenumfang | Erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 50 | 0,050 |
| 100 | 0,050 |
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