Berechnen der Punktschätzung für ETA1 - ETA2, W und des p-Werts für den Mann-Whitney-Test

Angenommen, die Daten für die erste Stichprobe (Stichprobe 1) sind 22, 24, 25, 29, 30, und die Daten für die zweite Stichprobe (Stichprobe 2) sind 16, 21, 22, 23. Der Mann-Whitney-Test liefert die folgende Ausgabe:

Mann-Whitney: C1; C2

Methode η₁: Median von C1 η₂: Median von C2 Differenz: η₁ - η₂

Deskriptive Statistik Stichprobe N Median C1 5 25,0 C2 4 21,5

Schätzwert für Differenz KI für Erreichte Differenz Differenz Konfidenz 6 (-0,0000000; 13) 96,27%

Test Nullhypothese H₀: η₁ - η₂ = 0 Alternativhypothese H₁: η₁ - η₂ ≠ 0

Methode W-Wert p-Wert Nicht für Bindungen korrigiert 33,50 0,050 Für Bindungen korrigiert 33,50 0,049

Berechnen der Punktschätzung

Die Punktschätzung für η₁ – η₂ ist der Median aller möglichen paarweisen Differenzen zwischen den beiden Stichproben.

Für dieses Beispiel liegen 5*4 = 20 paarweise Differenzen vor. Die möglichen paarweisen Differenzen für dieses Beispiel lauten: 22-16 = 6, 22-21 = 1, 22-22= 0, 22-23= −1, 8, 3, 2, 1, 9, 4, 3, 2, 13, 8, 7, 6, 14, 9, 8, 7.

Note

In Minitab können Sie alle paarweisen Differenzen zwischen zwei Spalten abrufen, indem Sie Statistik > Nichtparametrische Tests > Paarweise Differenzen auswählen.

Der Median dieser Differenzen ist 6.

Berechnen von W

W = (Anzahl der positiven Differenzen) + 0,5 (Anzahl der Differenzen, die gleich 0 sind) + 0,5(n₁(n₁+1)), wobei n₁ für die Anzahl der Beobachtungen in der ersten Stichprobe steht.

Für dieses Beispiel ist W = 18 + 0,5(1) + 0,5*5*6 = 18 + 0,5 + 15 = 33,5.

Berechnen des p-Werts

Der p-Wert basiert auf der Teststatistik für W. Die Teststatistik Z (die nicht in der Ausgabe enthalten ist) ist eine Normal-Approximation mit dem Mittelwert und der Varianz von W.

Mittelwert von W = 0,5(n₁ (n₁ + n₂ + 1)) Varianz von W = n₁*n₂(n₁+n₂+1)/12, wobei n₁ und n₂ die Anzahl der Beobachtungen in der ersten und der zweiten Stichprobe angeben.

Z = (|W - Mittelwert von W| - 0,5)/Quadratwurzel der Varianz von W.

Note

Die Subtraktion von 0,5 vom Zähler stellt den Kontinuitätskorrekturfaktor dar.

Der p-Wert für H_a: η₁ < η₂ ist CDF(Z). Der p-Wert für H_a: η₁ > η₂ ist (1 - CDF(Z)). Der p-Wert für H_a: η₁ ≠ η₂ ist 2*(1 - CDF(Z)). Hierbei ist CDF die kumulative Wahrscheinlichkeit einer Standardnormalverteilung.

Für dieses Beispiel gilt Folgendes:

Mittelwert von W = 0,5*5(5+4+1) = 2,5*10 = 25
Varianz von W = 5*4(5+4+1)/12 = 20*10/12 = 200/12 = 16,6667

Z = (|33,5 - 25| - 0,5)/SQRT(16,6667) = 1,9596

Der p-Wert für H_a: η₁ ≠ η₂ ist 2*(1 - 0,974979.) = 0,05.

Note

In Minitab können Sie die kumulativen Wahrscheinlichkeiten abrufen, indem Sie Berechnen > Wahrscheinlichkeitsverteilungen > Normal auswählen.