Methoden und Formeln für Kruskal-Wallis-Test

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In diesem Thema

Durchschnittlicher Rang
z-Wert
Bilden einer Rangfolge gebundener Werte
H

Durchschnittlicher Rang

Minitab berechnet die durchschnittlichen Ränge wie folgt:

Eine Rangfolge der kombinierten Stichproben wird gebildet. Der kleinsten Beobachtung wird der Rang 1 zugewiesen, der zweitkleinsten Beobachtung der Rang 2 usw.
Wenn mindestens zwei Beobachtungen gebunden sind, weist Minitab jeder dieser Beobachtungen den durchschnittlichen Rang zu.
Der Durchschnitt der Ränge der einzelnen Stichproben wird berechnet.

Minitab zeigt die Werte für jede Gruppe in der Ausgabe unter „Durchschn. Rang“ an.

z-Wert

Formel

Minitab berechnet den z-Wert für die einzelnen Gruppen wie folgt:

Notation

Begriff	Beschreibung
	durchschnittlicher Rang für Gruppe j
	durchschnittlicher Rang für alle Beobachtungen
N	Anzahl der Beobachtungen
n_j	Anzahl der Beobachtungen für die j-te Gruppe

Bilden einer Rangfolge gebundener Werte

Gebundene Werte treten auf, wenn mindestens zwei Beobachtungen gleich sind. Wenn Ihre Daten gebundene Werte aufweisen, bildet Minitab die Rangfolge der Daten wie folgt:

Die Beobachtungen werden in aufsteigender Reihenfolge sortiert.
Den einzelnen Beobachtungen werden Ränge zugewiesen, als ob keine Bindungen vorliegen würden.
Bei einer Gruppe gebundener Werte wird der Durchschnitt der entsprechenden Ränge ermittelt, und jedem gebundenen Wert in dieser Gruppe wird dieser Wert als neuer Rang zugewiesen.

Beispiel

Eine Stichprobe enthält 9 Beobachtungen: 2,4; 5,3; 2,4; 4,0; 1,2; 3,6; 4,0; 4,3 und 4,0.

Beobachtung	Rang (unter der Annahme, dass keine Bindungen vorliegen)	Rang
1,2	1	1
2,4	2	2,5
2,4	3	2,5
3,6	4	4
4,0	5	6
4,0	6	6
4,0	7	6
4,3	8	8
5,3	9	9

Beim Berechnen der Teststatistik werden zudem die folgenden Informationen verwendet:

Anzahl der Gruppen von Bindungen = 2
Anzahl gebundener Werte in der ersten Gruppe = 2
Anzahl gebundener Werte in der zweiten Gruppe = 3

H

Formel

Gemäß der Nullhypothese entspricht die Chi-Quadrat-Verteilung mit k – 1 Freiheitsgraden annähernd der Verteilung von H. Die Approximation ist hinreichend genau, wenn keine Gruppe weniger als fünf Beobachtungen enthält. Ein höherer H-Wert liefert stärkere Hinweise für die Gültigkeit der Nullhypothese, dass die Differenz zwischen einigen der Mediane statistisch signifikant ist.

Einige Autoren, z. B. Lehmann (1975)¹, schlagen eine Korrektur von H vor, wenn die Daten Bindungen aufweisen. In Minitab wird H(kor) angezeigt, wenn die Daten Bindungen aufweisen.

Gemäß der Nullhypothese entspricht die Chi-Quadrat-Verteilung mit k – 1 Freiheitsgraden annähernd der Verteilung von H und H(kor).

p-Wert = 1 – CDF (χ²_{H, df})

p-Wert = 1 – CDF (χ²_{H(kor), df})

Bei kleinen Stichproben empfiehlt Minitab die Verwendung exakter Tabellen. Weitere Einzelheiten finden Sie in Hollander und Wolfe (1973)².

Notation

Begriff	Beschreibung
n_j	Anzahl der Beobachtungen in Gruppe j
N	Gesamtstichprobenumfang
	Durchschnitt der Ränge in Gruppe j
	Durchschnitt aller Ränge
t_i	Anzahl gebundener Werte in der i-ten Gruppe von Bindungen

¹ E. L. Lehmann (1975). Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks, Holden-Day.

² M. Hollander und D. A. Wolfe (1973). Nonparametric Statistical Methods, John Wiley & Sons, Inc.