Methoden und Formeln für Test auf Ausreißer

Wenn der vermutete Ausreißer beispielsweise der kleinste Wert in der Stichprobe ist, diese aber auch zwei ungewöhnlich große Werte enthält, dann ist r₁₂ die entsprechende Teststatistik. Die Teststatistik r₁₀ (auch als Dixon-Q- bezeichnet) ist geeignet, wenn die Stichprobe nur einen Extremwert enthält.

Eine Tabelle der kritischen Werte für die Dixon-Teststatistiken findet sich in Rorabacher (1991).

Einseitige Teststatistik

Die Formel für den einseitigen Test hängt davon ab, ob Sie den kleinsten Wert, y_i, oder den größten Wert, y_n, testen. Um zu testen, ob y_i der Ausreißer ist, verwenden Sie die folgende Formel:

Um zu testen, ob y_n der Ausreißer ist, verwenden Sie die folgende Formel:

Beidseitige Teststatistik

Wir definieren die beidseitige Teststatistik gemäß Kings (1953) Definition der beidseitigen Teststatistik in Bezug auf r₁₀. Die beidseitige Teststatistik wird wie folgt angegeben:

Notation

Literaturhinweise

Formel für die einseitige Statistik

Wenn Sie ermitteln möchten, ob der kleinste Datenwert ein Ausreißer ist, wird die Teststatistik G wie folgt angegeben:

Wenn Sie ermitteln möchten, ob der größte Datenwert ein Ausreißer ist, wird G wie folgt angegeben:

Formel für die beidseitige Statistik

Für eine beidseitige Hypothese wird G wie folgt angegeben:

Notation

Begriff	Beschreibung
	Stichprobenmittelwert
yi	i-ter kleinster Wert in der Stichprobe
s	Standardabweichung der Stichprobe
n	Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe

Kumulative Verteilungsfunktion für die Teststatistik

Gemäß Dixon (1951) und McBane (2006) können die Dichtefunktionen der Verteilung der Teststatistik r_ij wie folgt ausgedrückt werden:

wobei C der normalisierende Faktor ist, angegeben durch:

und das Jacobi-J(x,v,r) wird angegeben durch:

Unter Verwendung der Transformation, bei der t = (1 + r² ) v² / 2 und u² = 3x² / 2, kann die Dichtefunktion wie folgt neu ausgedrückt werden:

Minitab wertet das innere Integral mit Hilfe einer 30-Punkt-Gauss-Laguerre-Quadratur aus. Minitab wertet das äußere Integral mit Hilfe einer 30-Punkt-Gauss-Hermite-Quadratur aus.

Die kumulativen Verteilungsfunktionen für die Familie von Teststatistiken werden angegeben durch:

Ähnlich wie McBane (2006) berechnet Minitab F_ij(r) mit Hilfe einer 16-Punkt-Gauss-Legendre-Quadratur.

p-Wert für einen einseitigen Test

Für jedes Paar von Indizes (i, j) wird der p-Wert für die beobachtete einseitige Statistik r angegeben durch:

p-Wert für einen einseitigen Test

Unter Verwendung von Kings (1953) Ergebnis wird der p-Wert für die beobachtete beidseitige Statistik r für jedes Paar von Indizes (i, j) angegeben durch:

Außerdem beobachtet King, dass die obige Approximation zur Gleichheit wird für .

Notation

Literaturhinweise

W.J. Dixon (1951). „Ratios Involving Extreme Values“, Annals of Mathematical Statistics, 22(1), 68-78.

E.P. King (1953). „On Some Procedures for the Rejection of Suspected Data“, Journal of the American Statistical Association, Vol. 48, No. 263, Seiten 531-533.

G.C. McBane (2006). „Programs to Compute Distribution Functions and Critical Values for Extreme Value Ratios for Outlier Detection“, Journal of Statistical Software, Vol. 16, Nr. 3, Seiten 1-9.

Formel für einen einseitigen Test

Der p-Wert für einen einseitigen Test ist:

Formel für einen beidseitigen Test

Der p-Wert für einen beidseitigen Test ist:

Exakte und annähernde p-Werte

Wenn Folgendes wahr ist, ist der p-Wert exakt.

Wenn nicht, stellt der berechnete p-Wert eine Obergrenze für den exakten p-Wert dar. Die Obergrenze ist jedoch eine sehr gute Annäherung an den exakten p-Wert.

Notation