Methoden und Formeln für Test auf Poisson-Verteilung

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In diesem Thema

Geschätzter Mittelwert
Anzahl der Kategorien
Poisson-Wahrscheinlichkeit
Erwartete Anzahl
Beitrag zu Chi-Quadrat
Teststatistik
p-Wert und Freiheitsgrade

Geschätzter Mittelwert

Formel

Der Mittelwert für die Poisson-Verteilung wird geschätzt als:

Berechnung

Daten	2 2 3 3 2 4 4 2 1 1 1 4 4 3 0 4 3 2 3 3 4 1 3 1 4 3 2 2 1 2 0 2 3 2 3

Kategorie (i)	Beobachtet (O_i)	Geschätzter Mittelwert	Poisson-Wahrscheinlichkeit (p_i)
0	2	0 * 2 = 0	p₀ = e^-2,4 = 0,090718
1	6	1 * 6 = 6	p₁ = e^-2,4 * 2,4 = 0,217723
2	10	2 * 10 = 20	p₂ = e^-2,4 * (2,4)²/ 2! = 0,261268
3	10	3 * 10 = 30	p₃ = e^-2,4 * (2,4)³/ 3! = 0,209014
	7	4 * 7 = 28	p₄ = 1 - (p₀ + p₁ +p₂ + p₃) = 0,221267

N = 35

Σ (i * O_i) = 84

Geschätzter Mittelwert =

Notation

Begriff	Beschreibung
N	Summe aller beobachteten Werte (O₀ + O₁ + ... + O_k)
k	(Anzahl der Kategorien) - 1
O_i	beobachtete Anzahl von Ereignissen in der i-ten Kategorie
p_i	Poisson-Wahrscheinlichkeit

Anzahl der Kategorien

Minitab bestimmt Kategorien mit Hilfe der folgenden iterativen Methoden:

Definieren der ersten Kategorie

Sei p_i = P(X x_i )

Sei i = 1: Wenn N*p_i 2, dann wird die erste Kategorie definiert als " x ₁". Wenn N*p_i < 2, dann wird i um eins hochgezählt und Folgendes wiederholt: Wenn N*p ₂ 2, dann wird die erste Kategorie definiert als " x ₂". Wenn N*p_i < 2, dann wird i um eins hochgezählt; dieser Vorgang wird wiederholt, bis N*p_i 2. Die Iterationen werden beendet, wenn diese Bedingung erstmalig erfüllt wird oder wenn x_i der drittgrößte Datenwert ist, und die erste Kategorie wird definiert als " x_i ". Wenn der Wert der ersten Kategorie null ist, wird die erste Kategorie als „0“ ohne das „kleiner oder gleich“-Symbol definiert. Die Wahrscheinlichkeit und der erwartete Wert für die erste Kategorie lauten p_i und N*p_i . Der beobachtete Wert für die erste Kategorie ist die Anzahl aller Datenwerte x_i .

Definieren der letzten Kategorie

Konzeptionell ähnelt die Definition der letzten Kategorie der Definition der ersten Kategorie, aber Minitab beginnt mit dem größten Datenwert und arbeitet rückwärts.

Die letzte Kategorie ist " x_j ", wobei x_j der größte Datenwert größer als (1 + Datenwert der ersten Kategorie) ist, so dass die Kategorie einen erwarteten Wert größer als 2 aufweist. Die Wahrscheinlichkeit und der erwartete Wert für die letzte Kategorie lauten p_j und N*p_j , und der beobachtete Wert ist die Anzahl der Datenwerte x_j .

Definieren der mittleren Kategorien

Nach Bestimmung der ersten und letzten Kategorie legt Minitab die Kategorien dazwischen fest. Sei "X k" die erste Kategorie und "X m" die letzte Kategorie. Wenn alle ganze Zahlen zwischen (k, m) erwartete Werte 2 aufweisen, dann bilden sie alle eine mittlere Kategorie. Andernfalls verwendet Minitab eine rekursive Schleife zur Gruppierung mehrerer benachbarter ganzer Zahlen in Kategorien mit erwarteten Werten 2. In manchen Situationen, z. B. bei einem Datensatz mit wenigen Beobachtungen, ist der erwartete Wert einer Kategorie kleiner als 2.

Notation

Begriff	Beschreibung
N	Gesamtzahl der Beobachtungen
x_i	i-ter Wert im Datensatz nach der Sortierung vom kleinsten zum größten
p_i	Poisson-Wahrscheinlichkeit

Poisson-Wahrscheinlichkeit

Formel

Die Poisson-Wahrscheinlichkeit der i-ten Kategorie (i < k) ist

Die Poisson-Wahrscheinlichkeit der letzten Kategorie, wobei i = k, ist

p_i = 1 – (p₀ + p₁ + ...+ p_k-1)

Notation

Begriff	Beschreibung
k	Anzahl der Kategorien
λ	geschätzter Mittelwert der Stichprobe

Erwartete Anzahl

Formel

Die erwartete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie beträgt N * p_i .

Notation

Begriff	Beschreibung
N	Stichprobenumfang
p_i	Poisson-Wahrscheinlichkeit, die der i-ten Kategorie zugeordnet ist

Beitrag zu Chi-Quadrat

Formel

Der Beitrag der I-ten Kategorie zum Chi-Quadrat-Wert wird wie folgt berechnet:

Notation

Begriff	Beschreibung
O_I	beobachtete Anzahl von Beobachtungen in der I-ten Kategorie
E_I	erwartete Anzahl von Beobachtungen in der I-ten Kategorie

Teststatistik

Formel

Die Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests wird wie folgt berechnet:

Notation

Begriff	Beschreibung
k	(Anzahl der Kategorien) - 1
O_i	beobachtete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie
E_i	erwartete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie

p-Wert und Freiheitsgrade

Der p-Wert ist:

Wahrsch (X > Teststatistik)

wobei X einer Chi-Quadrat-Verteilung mit k - 1 Freiheitsgraden folgt, wenn Sie den Unterbefehl MEAN verwenden, oder k- 2 Freiheitsgraden, wenn Sie den Unterbefehl MEAN nicht verwenden.

Berechnung

Daten	2 2 3 3 2 4 4 2 1 1 1 4 4 3 0 4 3 2 3 3 4 1 3 1 4 3 2 2 1 2 0 2 3 2 3

Kategorie (i)	Beobachtet (O_i)	Geschätzter Mittelwert	Poisson-Wahrscheinlichkeit (p_i)
0	2	0 * 2 = 0	p₀ = e ^-2,4 = 0,090718
1	6	1 * 6 = 6	p₁ = e ^-2,4 * 2,4 = 0,217723
2	10	2 * 10 = 20	p₂ = e ^-2,4 * (2,4)²/ 2! = 0,261268
3	10	3 * 10 = 30	p₃ = e ^-2,4 * (2,4)³/ 3! = 0,209014
	7	4 * 7 = 28	p₄ = 1 - (p₀ + p₁ +p₂ + p₃ ) = 0,221267

= ( 0,43492 + 0,344527 + 0,080058 + 0,985114 + 0,071545) = 1,91622

k = 5= Anzahl der Kategorien

DF = 5 - 2 = 3

p-Wert = P (X > 1,91622) = 0,590

Notation

Begriff	Beschreibung
k	Anzahl der Kategorien
O_i	beobachtete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie
E_i	erwartete Anzahl von Beobachtungen in der i-ten Kategorie
	Statistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests
DF	Freiheitsgrade