Begriff | Beschreibung |
---|---|
![]() | Mittelwert der Stichprobe i |
S2i | Varianz der Stichprobe i |
Xij | j-te Messung der i-ten Stichprobe |
ni | Umfang von Stichprobe i |
Wenn n1 = n2, ist die Teststatistik Z2. Wenn die Nullhypothese ρ = ρ0 wahr ist, dann weist Z2 eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad auf. Z2 wird wie folgt angegeben:
wobei se(ρ0) der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis ist, der wie folgt angegeben wird:
wobei ri = (ni - 3) / ni und die zusammengefasste Kurtosis ist, die wie folgt angegeben wird:
se2(ρ0) lässt sich auch ausdrücken in Form der Kurtosis-Werte der einzelnen Stichproben, , wie folgt:
Dabei gilt Folgendes:
Sei z2 der Wert von Z2, der aus den Daten erhalten wird. Gemäß der Nullhypothese H0: ρ = ρ0 weist Z eine Standardnormalverteilung auf. Daher werden die p-Werte für die Alternativhypothese (H1) wie folgt angegeben.
Hypothese | p-Wert |
---|---|
H1: ρ0 ≠ ρ0 | P = 2P(Z > |z|) |
H1: ρ0 > ρ0 | P = P(Z > z) |
H1: ρ0 < ρ0 | P = P(Z < z) |
Begriff | Beschreibung |
---|---|
Si | Standardabweichung von Stichprobe i |
ρ | Verhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit |
ρ0 | hypothetisches Verhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit |
α | Signifikanzniveau für den Test = 1 - (Konfidenzniveau/100) |
ni | Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe i |
![]() | Kurtosis-Wert für die Stichprobe i |
Xij | j-te Beobachtung in der Stichprobe i |
mi | getrimmtes Mittel für die Stichprobe i mit getrimmten Anteilen von ![]() |
Wenn n1 ≠ n2, gibt es keine Teststatistik. Stattdessen wird der p-Wert durch Invertieren des Konfidenzintervallverfahrens berechnet. Der p-Wert für den Test wird wie folgt angegeben:
P = 2 Min (αU, αO)
wobei cα eine Ausgleichskonstante (weiter unten beschrieben) und se(ρ0) der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis ist, der wie folgt angegeben wird:
wobei ri = (ni - 3) / ni und die zusammengefasste Kurtosis ist, die wie folgt angegeben wird:
se(ρ0) kann auch in Form der Kurtosis-Werte der einzelnen Stichproben ausgedrückt werden. Weitere Informationen finden Sie unter „Test für Bonett-Methode mit balancierten Designs“.
Die Konstante verschwindet, wenn die Designs balanciert sind, und ihre Auswirkung wird bei zunehmenden Stichprobenumfängen vernachlässigbar.
Das Ermitteln von αU und αO entspricht dem Ermitteln der Wurzeln der Funktionen L(z , n1 , n2 , S1 , S2 ) und L(z , n2 , n1 , S2 , S1 ), wobei L(z , n1 , n2 , S1 , S2) wie folgt angegeben wird:
Wenden Sie zum Berechnen von αO die oben genannten Schritte mit Hilfe der Funktion L(z, n2, n1, S2, S1) anstelle der Funktion L(z, n1, n2, S1, S2) an.
Begriff | Beschreibung |
---|---|
Si | Standardabweichung der Stichprobe i |
ρ | Verhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit |
ρ0 | hypothetisches Verhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit |
α | Signifikanzniveau für den Test = 1 - (Konfidenzniveau/100) |
zα | Punkt des oberen α-Perzentils der Standardnormalverteilung |
ni | Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe i |
Xij | j-te Beobachtung in der Stichprobe i |
mi | getrimmtes Mittel für die Stichprobe i mit getrimmten Anteilen von ![]() |
wobei cα/2 eine Ausgleichskonstante (weiter unten beschrieben) und se(ρ) der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis (weiter unten beschrieben) sind. Diese Gleichung hat i. d. R. zwei Lösungen: eine Lösung U < S1 / S2 und eine Lösung O > S1 / S2. U ist die untere Konfidenzgrenze, und O ist die oberer Konfidenzgrenze. Weitere Informationen finden Sie in Bonett-Methode, einem White Paper, das Simulationen und weitere Informationen über die Bonett-Methode enthält.
Die Konfidenzgrenzen für das Verhältnis der Varianzen erhalten Sie durch Quadrieren der Konfidenzgrenzen für das Verhältnis der Standardabweichungen.
Die Konstante verschwindet, wenn die Designs balanciert sind, und ihre Auswirkung wird bei zunehmenden Stichprobenumfängen vernachlässigbar.
se(ρ) ist der Standardfehler der zusammengefassten Kurtosis, der wie folgt ausgedrückt wird:
wobei ri = (ni - 3) / ni und die zusammengefasste Kurtosis ist, die wie folgt angegeben wird:
se(ρ) kann auch in Form der Kurtosis-Werte der einzelnen Stichproben ausgedrückt werden. Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt über den Test für die Bonett-Methode mit balancierten Designs.
Begriff | Beschreibung |
---|---|
α | Signifikanzniveau für den Test = 1 – (Konfidenzniveau/100) |
Si | Standardabweichung von Stichprobe i |
ρ | Verhältnis zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit |
zα/2 | Punkt des oberen α/2-Perzentils der Standardnormalverteilung |
ni | Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe i |
Xij | j-te Beobachtung in der Stichprobe i |
mi | getrimmtes Mittel für die Stichprobe i mit getrimmten Anteilen von ![]() |
Der Levene-Test eignet sich für stetige Daten. Der Levene-Test ist nicht für zusammengefasste Daten verfügbar.
Um mit dem Levene-Test die Nullhypothese zu testen, dass σ1 / σ2 = ρ, führt Minitab eine einfache ANOVA für die Werte Z1j und ρZ2j durch (wobei j = 1, …, n1 oder n2).
Die Levene-Teststatistik ist gleich dem Wert der F-Statistik in der resultierenden ANOVA-Tabelle. Der p-Wert des Levene-Tests ist gleich dem p-Wert in dieser ANOVA-Tabelle.
Gemäß der Nullhypothese folgt die Teststatistik einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden.
DF1 = 1
DF2 = n1 + n2 – 2
Begriff | Beschreibung | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Zij | |Xi j – η i|
| ||||||||||
σ1 | Standardabweichung der ersten Grundgesamtheit | ||||||||||
σ2 | Standardabweichung der zweiten Grundgesamtheit | ||||||||||
n1 | Umfang der ersten Stichprobe | ||||||||||
n2 | Umfang der zweiten Stichprobe |
Für stetige Daten berechnet Minitab die Konfidenzgrenzen für das Verhältnis (ρ) zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheit mit den folgenden Formeln. Um Grenzen für das Verhältnis zwischen den Varianzen der Grundgesamtheit zu erhalten, quadrieren Sie die unten genannten Werte.
Wenn , Untergrenze =
Wenn , ist keine Untergrenze vorhanden.
Wenn , Obergrenze =
Wenn , ist keine Obergrenze vorhanden.
Wenn , dann
Wenn , dann
Begriff | Beschreibung |
---|---|
t α | der kritische α-Wert einer t-Verteilung mit n1 + n2 – 2 Freiheitsgraden |
ηi | Median der Stichprobe i |
Zij | ![]() |
Mi | Mittelwert von Zij |
Si2 | Varianz der Stichprobe von Zij |
vi | ![]() |
ρ | σ1 / σ2 |
n1 | Umfang der ersten Stichprobe |
n2 | Umfang der zweiten Stichprobe |
Der F-Test eignet sich für normalverteilte Daten. Um mit dem F-Test die Nullhypothese zu testen, dass σ1 / σ2 = ρ, verwendet Minitab die folgenden Formeln.
Gemäß der Nullhypothese folgt die F-Statistik einer F-Verteilung mit DF1 und DF2 Freiheitsgraden.
DF1 = n1 – 1
DF2 = n2 – 1
Begriff | Beschreibung |
---|---|
ρ | σ1 / σ2 |
σ1 | Standardabweichung der ersten Grundgesamtheit |
σ2 | Standardabweichung der zweiten Grundgesamtheit |
S21 | Varianz der ersten Stichprobe |
S22 | Varianz der zweiten Stichprobe |
n1 | Umfang der ersten Stichprobe |
n2 | Umfang der zweiten Stichprobe |
Wenn die Daten einer Normalverteilung folgen, berechnet Minitab die Konfidenzgrenzen für das Verhältnis (ρ) zwischen den Standardabweichungen der Grundgesamtheiten mit den folgenden Formeln. Um Grenzen für das Verhältnis zwischen den Varianzen der Grundgesamtheiten zu erhalten, quadrieren Sie die unten genannten Werte.
Wenn Sie eine „Ungleich“-Alternativhypothese angeben, wird ein 100(1 – α)%-Konfidenzintervall für ρ wie folgt angegeben:
Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird eine obere 100(1 – α)%-Konfidenzgrenze für ρ wie folgt angegeben:
Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird eine untere 100(1 – α)%--Konfidenzgrenze für ρ wie folgt angegeben:
Begriff | Beschreibung |
---|---|
S1 | Standardabweichung der ersten Stichprobe |
S2 | Standardabweichung der zweiten Stichprobe |
ρ | σ1 / σ2 |
n1 | Umfang der ersten Stichprobe |
n2 | Umfang der zweiten Stichprobe |
F(α/2, n2–1, n1–1) | kritischer Wert α/2 aus der F-Verteilung mit n2–1 und n1–1 Freiheitsgraden |