Methoden und Formeln für Test auf Varianzen, 1 Stichprobe

Die Standardabweichung ist das am häufigsten verwendete Maß für die Streuung bzw. die Streubreite der Daten um den Mittelwert. Die Standardabweichung der Stichprobe ist gleich der Quadratwurzel der Varianz der Stichprobe.

Wenn die Spalte x₁, x₂,..., x_N enthält, mit dem Mittelwert , dann wird die Standardabweichung angegeben durch:

Notation

Begriff	Beschreibung
xi	i-te Beobachtung in der Stichprobe
	Mittelwert der Stichprobe
S	Standardabweichung der Stichprobe
n	Stichprobenumfang

Die Varianz ist ein Maß der Streuung der Daten um ihren Mittelpunkt. Die Varianz ist gleich dem Quadrat der Standardabweichung.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
xi	i-te Beobachtung
	Mittelwert der Beobachtungen
N	Anzahl der nicht fehlenden Beobachtungen

Konfidenzintervalle

Ein 100(1 - α)%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

Ein 100(1 - α)%-Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

Konfidenzgrenzen

Wenn Sie einen einseitigen Test angeben, berechnet Minitab eine einseitige 100(1–α)%-Konfidenzgrenze gemäß der Richtung der Alternativhypothese.

• Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird eine untere 100(1–α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:

  

  Eine untere 100(1–α)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

  

• Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird eine obere 100(1–α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:

  

  Eine obere 100(1–α)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

  

Notation

Verwenden Sie diese Methode für alle stetigen Daten (normalverteilt oder nicht normalverteilt). ¹

Konfidenzintervall

Ein 100(1-α)%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

Ein 100(1-α)%-Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

Konfidenzgrenzen

Wenn Sie einen einseitigen Test angeben, berechnet Minitab eine einseitige 100(1–α)%-Konfidenzgrenze gemäß der Richtung der Alternativhypothese.

• Wenn Sie eine „Größer als“-Alternativhypothese angeben, wird eine untere 100(1–α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:

  

  Eine ungefähre untere 100(1- a)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird wie folgt angegeben:

  

• Wenn Sie eine „Kleiner als“-Alternativhypothese angeben, wird eine ungefähre obere 100(1 – α)%-Grenze für die Standardabweichung der Grundgesamtheit wie folgt angegeben:

  

  Eine ungefähre obere 100(1 – α)%-Grenze für die Varianz der Grundgesamtheit wird angegeben durch:

  

Notation

Begriff	Beschreibung
α	1 – Konfidenzniveau/100
cα/2	n / (n – zα/2)
cα	n / (n – zα )
s2	beobachteter Wert der Varianz der Stichprobe
zα/2	inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei 1 – α/2. Wenn n kleiner oder gleich zα/2 ist, berechnet Minitab keine Bonett-Konfidenzintervalle.
zα	inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei 1 – α. Wenn n kleiner oder gleich zα ist, berechnet Minitab keine Bonett-Konfidenzintervalle.
se
	= geschätzter Kurtosis-Überschuss
m	getrimmtes Mittel mit einem Trim-Anteil gleich ; m = Mittelwert der Stichprobe, wenn n kleiner oder gleich 5 ist
σ	wahrer Wert der Standardabweichung der Grundgesamtheit
σ2	wahrer Wert der Varianz der Grundgesamtheit

Formel

Der Hypothesentest verwendet die folgenden Gleichungen für den p-Wert der jeweiligen Alternativhypothesen:

H₁: σ² > σ₀²: p-Wert = P(Χ² ≥ x²)

H₁: σ² < σ₀²: p-Wert = P(Χ² ≤ x²)

H₁: σ² ≠ σ₀²: p-Wert = 2 × Min{P(Χ² ≤ x²), P(Χ² ≥ x²)}

Notation

Begriff	Beschreibung
σ2	wahrer Wert der Varianz der Grundgesamtheit
σ02	Hypothesenwert der Varianz der Grundgesamtheit
Χ2	folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit (n – 1) Freiheitsgraden, wenn σ2 = σ02
x2	Begriff Beschreibung S2 beobachteter Wert der Varianz der Stichprobe n Stichprobenumfang

Formel

Das Bonett-Verfahren ist keiner Teststatistik zugeordnet. Minitab verwendet jedoch die Ablehnungsbereiche, die durch die Konfidenzgrenzen definiert sind, um einen p-Wert zu berechnen.

Für eine beidseitige Hypothese wird der p-Wert wie folgt angegeben:

p = 2 × Min(α_U, α_O)

• Für eine einseitige „Kleiner als“-Alternativhypothese wird der p-Wert als α_O berechnet, nachdem α/2 in der Notation durch α ersetzt wurde.
• Für die einseitige „Größer als“-Alternativhypothese wird der p-Wert als α_U berechnet, nachdem α/2 in der Notation durch α ersetzt wurde.

Notation

Begriff	Beschreibung
σ02	hypothetische Varianz
αU	kleinste Lösung α der Gleichung
αO	kleinste Lösung α der Gleichung
cα/2	n / (n – zα/2)
α	1 - Konfidenzniveau/100
s2	beobachteter Wert der Varianz der Stichprobe
zα/2	inverse kumulative Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung bei 1 – α/2. Wenn n kleiner oder gleich zα/2 ist, berechnet Minitab keine Bonett-Konfidenzintervalle.
se	Begriff Beschreibung = geschätzter Kurtosis-Überschuss m getrimmtes Mittel mit einem Trim-Anteil gleich ; m = 0, wenn n kleiner oder gleich 5 ist