Methoden und Formeln für Prognostizieren

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In diesem Thema

Konfidenzintervall
Anpassung
Standardfehler des angepassten Werts (SE Anpassung)
Regressionsgleichung
Prognoseintervall

Konfidenzintervall

Der Bereich, in dem der geschätzte Mittelwert der Antwortvariablen bei einer gegebenen Gruppe von Werten der Prädiktorvariablen erwartet wird.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung

	angepasster Wert der Antwortvariablen für eine gegebene Gruppe von Prädiktorwerten
α	Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art
n	Anzahl der Beobachtungen
p	Anzahl der Modellparameter
S ²(b)	Varianz-Kovarianz-Matrix der Koeffizienten
s ²	mittleres Fehlerquadrat
X	Versuchsplanmatrix
X₀	Vektor der angegebenen Prädiktorwerte mit 1 Spalte und p Zeilen
X'₀	transponierter neuer Vektor von Prädiktorwerten mit 1 Zeile und p Spalten

Anpassung

Notation

Begriff	Beschreibung
	angepasster Wert
x_k	k-ter Term. Jeder Term kann ein einzelner Prädiktor, ein Polynomialterm oder ein Wechselwirkungsterm sein.
b_k	Schätzwert des k-ten Regressionskoeffizienten

Standardfehler des angepassten Werts (SE Anpassung)

Der Standardfehler des angepassten Werts in einem Regressionsmodell mit einem Prädiktor wird wie folgt ausgedrückt:

Der Standardfehler des angepassten Werts in einem Regressionsmodell mit mehreren Prädiktoren wird wie folgt ausgedrückt:

Fügen Sie für die gewichtete Regression die Gewichtsmatrix in die Gleichung ein:

Wenn die Daten über einen Testdatensatz oder eine K-Falten-Kreuzvalidierung verfügen, sind die Formeln identisch. Der Wert von s² stammt aus den Trainingsdaten. Die Designmatrix und die Gewichtsmatrix stammen ebenfalls aus den Trainingsdaten.

Notation

Begriff	Beschreibung
s²	mean square error
n	number of observations
x₀	new value of the predictor
	mean of the predictor
x_i	i^-ter predictor value
x₀	vector of values that produce the fitted values, one for each column in the design matrix, beginning with a 1 for the constant term
X =₀	transpose of the new vector of predictor values
X	design matrix
W	weight matrix

Regressionsgleichung

Für ein Modell mit mehreren Prädiktoren lautet die Gleichung:

y= β₀ + β₁x₁ + ... + β_kx_k + ε

Die angepasste Gleichung lautet:

Bei der einfachen linearen Regression, die nur einen Prädiktor enthält, lautet das Modell:

y=ß₀+ ß₁x₁+ε

Mit Regressionsabschätzungen b₀ für ß₀und b₁ für ß₁ergibt sich die angepasste Gleichung:

Gleichungen mit einer kategorialen Variablen

Wenn Sie eine kategoriale Variable in ein Regressionsmodell einbeziehen, gibt es zwei Möglichkeiten, die Regressionsgleichung darzustellen:

Separate Gleichung jeder Menge kategorischer Prädiktorstufen
Einzelne Gleichung

Diese beiden Optionen sind gleichwertig. Angenommen, die Daten haben folgende Variablen:

C1: Die Antwortvariable
C2: Ein stetiger Prädiktor
C3: Eine kategorische Prädiktorvariable mit den Stufen Rot und Blau

Die separaten Gleichungen sind wie folgt:

Blau: C1 = 0,184 + 0,1964*C2
Rot: C1 = 0,011 + 0,1964*C2

Eine einzelne Gleichung verwendet eine Indikatorvariable, um die kategoriale Variable darzustellen.

C1 = 0,184 + 0,1964*C2 + 0,0*C3_Blau- 0,173*C3_Rot

In der Einzelgleichung ist C3_Blau gleich 1, wenn die Beobachtung blau ist, und sonst 0. C3_Rot gleich 1, wenn die Beobachtungen rot sind, und sonst 0. Für jede Gruppe wird die Indikatorvariable eingesetzt, um zu überprüfen, dass die einzelne Gleichung mit den beiden separaten Gleichungen übereinstimmt.

Blaue Beobachtung (C3_Blau = 1, C3_Rot = 0): C1 = 0,184 + 0,1964*C2 + 0,0*1 - 0,173*0 = 0,184 + 0,1964*C2
Rote Beobachtung (C3_Blau = 0, C3_Rot = 1: C1 = 0,084 + 0,1964*C2 + 0,0*0 - 0,173*1 = 0,011 + 0,1964*C2

Notation

Begriff	Beschreibung
y	Antwortvariable
x_k	K-te Trimester. Jeder Term kann ein einzelner Prädiktor, ein Polynomialterm oder ein Wechselwirkungsterm sein.
ß_k	k-te Populationsregressionskoeffizient
ε	Fehlerterm, der einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 folgt
b_k	Schätzung des k-ten Populationsregressionskoeffizienten
	angepasste Antwortvariable

Prognoseintervall

Das Prognoseintervall ist der Bereich, in dem der angepasste Wert der Antwortvariablen für eine neue Beobachtung erwartet wird.

Formel

Notation

Begriff	Beschreibung
s(Prog)
	angepasster Wert der Antwortvariablen für eine gegebene Gruppe von Prädiktorwerten
α	Signifikanzniveau
n	Anzahl der Beobachtungen
p	Anzahl der Modellparameter
s ²	mittleres Fehlerquadrat
X	Prädiktormatrix
X₀	Vektor der angegebenen Prädiktorwerte mit 1 Spalte und p Zeilen
X'₀	Transponierung des neuen Vektors von Prädiktorwerten mit 1 Zeilen und p Spalten