Methoden für Prognose mit bestem ARIMA-Modell

Prognose mit bestem ARIMA-Modell Vergleicht viele Modelle und wählt ein endgültiges Modell mit einem Kriterium in den Spezifikationen der Analyse aus. Informationen zu den Ergebnissen des endgültigen ARIMA-Modells finden Sie unter Methoden und Formeln für ARIMA. Die folgenden Abschnitte enthalten Details, die für eindeutig sind. Prognose mit bestem ARIMA-Modell

Modellauswahl

Bei der Modellauswahl werden die folgenden Schritte ausgeführt:

Schätzen Sie die Modellparameter für jedes Modell. Wenn ein Modell eine Konstante enthält und die Schätzung der Parameter fehlschlägt, versuchen Sie, die Parameter ohne den konstanten Term zu schätzen.
Berechnen Sie das Informationskriterium für jedes Modell. Das Standardkriterium ist das korrigierte Akaike Information Criterion (AICc).
Erzeugen Sie Ergebnisse für das Modell mit dem besten Wert des Informationskriteriums.

In den folgenden Abschnitten werden Details beschrieben, die sich bei der Auswahl von nicht saisonalen und saisonalen Modellen unterscheiden.

Nicht saisonales Modelle

Die Spezifikationen für die Analyse enthalten die Reihenfolge der Differenzierung. Für den spezifizierten Auftrag wertet der Prozess alle Kombinationen der autoregressiven und gleitenden Durchschnittsaufträge in den Spezifikationen für die Analyse mit folgenden Einschränkungen aus:

Wenn Sie Modelle mit einem konstanten Term anpassen, haben Kandidatenmodelle p + q ≤ 9.
Wenn Sie Modelle ohne konstanten Begriff anpassen, haben Kandidatenmodelle p + q ≤ 10.
Modelle mit d = 2 enthalten niemals einen konstanten Term.
Das Modell wertet ARIMA(0, d, 0) nur aus, wenn d = 1 ist.

Saisonale Modelle

Die Spezifikationen für die Analyse enthalten die Ordnungen der nicht-saisonalen und saisonalen Differenzierung. Für die angegebenen Aufträge wertet der Prozess alle Kombinationen von saisonalen und nicht-saisonalen autoregressiven und gleitenden Durchschnittsaufträgen mit den folgenden Einschränkungen aus:

Wenn Sie Modelle mit einem konstanten Term anpassen, haben Kandidatenmodelle p + q + P + Q ≤ 9.
Wenn Sie Modelle ohne konstanten Term anpassen, haben Kandidatenmodelle p + q + P + Q ≤ 10.
Modelle mit d + D > 1 enthalten niemals einen konstanten Begriff.
Die Suche nach einem saisonalen Modell erfordert die Reihenfolge mindestens eines der saisonalen Parameter, um größer als 0 sein zu können. Die Suche umfasst nicht saisonale Modelle, wenn die Spezifikationen für die Suche Modelle enthalten, bei denen alle saisonalen Parameter Ordnungen von 0 haben.
Mindestens 1 von p, q, P und Q ist in jedem Modell ungleich Null.

Kriterien

Um ARIMA-Modelle mit den gleichen Differenzierungsgraden zu bewerten, verwendet die Analyse 1 von 3 Informationskriterien:

Akaike Information Criterion (AIC)
Akaikes korrigiertes Informationskriterium (AICc)
Bayessche Informationskriterium (BIC)

Bei der Berechnung der Informationskriterien für ein Modell wird der Log-Likelihood-Wert für das Modell verwendet. Bei der Berechnung des Log-Likelihood-Werts wird ein rekursiver Algorithmus verwendet. Weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 8.6 von Brockwell & Davis (1991)¹.

Notation

Begriff	Beschreibung
k	Die Anzahl der Parameter im Modell Für ein saisonales Modell mit einer Konstanten ist k = p + q + 2 Für ein saisonales Modell ohne Konstante ist k = p + q + 1 Für ein saisonales Modell mit einer Konstanten ist k = p + q + P + Q + 2 Für ein saisonales Modell ohne Konstante k = p + q + P + Q + 1
L_c	Log-Likelihood des aktuellen Modells
n	Stichprobenumfang der Zeitreihe

Box-Cox-Transformation

Die Analyse ermöglicht eine Box-Cox-Transformation der Daten. Die Transformation der Daten erfolgt vor der Modellauswahl. Informationen zur Box-Cox-Transformation für Zeitreihendaten finden Sie unter Methoden und Formeln für Box-Cox Transformation für Zeitreihen.

Zu den Ergebnissen der Analyse gehören die rücktransformierten Prognosen und die Wahrscheinlichkeitsgrenzen der Prognosen. Der ^t-te Wert der transformierten Zeitreihe hängt vom Wert von λ für die Transformation ab:

für λ > 0
für λ = 0
für λ < 0

Dabei gilt: ist der ^t-te Wert der ursprünglichen Zeitreihe und t = 1, ..., n.

Sei ist der ^l-te Prognosewert, beginnend mit dem Ursprung tfür die transformierten Daten. Sei die L-Schritt-Prognoseabweichung von den transformierten Daten sein. Dann hängt der ^l-te Prognosewert von t für die ursprüngliche Reihe vom Wert von λab:

Die Transformation der Wahrscheinlichkeitsgrenze für eine Prognose verwendet die Umkehrung der Box-Cox-Transformation. Details zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsgrenze finden Sie unter Methoden und Formeln für ARIMA. Die inverse Transformation für die obere Wahrscheinlichkeitsgrenze ist die gleiche wie die inverse Transformation für die untere Wahrscheinlichkeitsgrenze. Die inverse Transformation hängt vom Wert von λab.

Dabei gilt: ist der Grenzwert im ursprünglichen Maßstab und ist der Grenzwert in der transformierten Skala.

Zielloser Spaziergang Modell

Das ARIMA(0, 1, 0)-Modell, mit oder ohne konstanten Term, ist das Random-Walk-Modell. Passt in Minitab Statistical Software Prognose mit bestem ARIMA-Modell das Random-Walk-Modell an. Der Befehl Statistik > Zeitreihen > ARIMA erfordert mindestens einen autoregressiven oder gleitenden Durchschnittsparameter. Die Schätz- und Wahrscheinlichkeitsgrenzen für das Random-Walk-Modell haben spezifische Formen. Die Berechnungen für die Logwahrscheinlichkeit, die Prognosegrenzen und die Wahrscheinlichkeitsgrenzen für die Prognosen hängen davon ab, ob das Modell einen konstanten Term enthält.

Definitionen:

Begriff	Beschreibung
	die Beobachtungen für eine Zeitreihe mit t = 1, ..., n
	die ersten differenzierten Daten aus der ursprünglichen Zeitreihe,

Verwenden Sie die folgenden Gleichungen, um das Modell ohne Konstante darzustellen:

oder

Dabei gilt: sind unabhängig und identisch verteilt und folgen der Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz σ², t = 2, ..., n.

Gleichungen, die das Modell mit einer Konstanten darstellen, sind ähnlich:

oder

Bei der Berechnung des Wahrscheinlichkeitswerts wird die folgende Gleichung verwendet:

Modell ohne konstanten Term

Die Log-Wahrscheinlichkeit weist die folgende Form auf:

Log-Wahrscheinlichkeit

Dabei gilt Folgendes:

Der Prognosewert bei t + l, l = 1, ..., 150, ausgehend von der Zeitreihenfolge ,t hat die folgende Form:

Die Wahrscheinlichkeitsgrenze von 100 × (1 – α) für den Prognosewert die folgende Form:

Dabei gilt: steht für dar 100× 1– α/2)- d Perzentil aus der Standardnormalverteilung.

Modell mit konstanten Term

Für ein Modell mit einer Konstanten erfordern die Berechnungen für die Loglikelihood die Schätzung der Konstante C. Unterscheiden Sie zunächst die Daten von der Originalserie für t = 2, ..., n. Die Konstante ist der Stichprobenmittelwert von Hat die folgende Form: