Methoden und Formeln für Erweiterter Dickey-Fuller-Test

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In diesem Thema

Regressionsmodelle
Hypothesen
Teststatistik
MacKinnon's annähernde p-Werte
Bestimmung der Verzögerungsreihenfolge

Regressionsmodelle

Die Berechnungen verwenden die folgenden Definitionen:

Begriff	Beschreibung
	die beobachteten Zeitreihenwertezum Zeitpunkt = 1, ..., T
	die Differenz zweier aufeinanderfolgender Beobachtungen zum Zeitpunkt t, , wobei t = 2, ..., T
	die konstanten Term im Regressionsmodell
	ist der Koeffizient eines linearen Zeittrends im Regressionsmodell
	ist der Koeffizient eines quadratisch Zeittrends im Regressionsmodell
	die Verzögerungsreihenfolge des autoregressiven Prozesses
	der seriell unabhängige Fehlerterm zum Zeitpunkt t für t = 2, ..., T

Der Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test (ADF) verwendet gewöhnliche Regressionsschätzungen der kleinsten Quadrate. Die Spezifikationen für die Analyse in Minitab Statistical Software setzen die konstanten, linearen und quadratischen Koeffizienten auf 0.

Ein Modell mit nur einem konstanten Koeffizienten
Ein Modell mit einem konstanten Koeffizienten und einem linearen Koeffizienten
Ein Modell mit einem konstanten Koeffizienten, linearen Koeffizienten und einem quadratischen Koeffizienten
Ein Modell ohne Regressionskoeffizienten

Hypothesen

Jeder Augmented Dickey-Fuller-Test verwendet die folgenden Hypothesen:

Nullhypothese, H₀:

Alternativhypothese, H₁:

Die Nullhypothese besagt, dass sich eine Einheitenwurzel in der Zeitreihenstichprobe befindet, was bedeutet, dass der Mittelwert der Daten nicht stationär ist. Das Ablehnen der Nullhypothese zeigt an, dass der Mittelwert der Daten stationär oder trendstationär ist, abhängig vom Modell für den Test.

Teststatistik

Die Teststatistik für die ADF hat die folgende Form:

Dabei gilt Folgendes:

Begriff	Beschreibung
	die Schätzung des kleinsten quadratischen Koeffizienten der Koeffizienten
	Der Standardfehler der Schätzung der kleinsten Quadrate der Koeffizient aus dem Regressionsmodell

MacKinnon's annähernde p-Werte

Nach der Nullhypothese folgt die asymptotische Verteilung der Teststatistik keiner Standardverteilung. Fuller (1976)¹ stellt eine Tabelle mit gemeinsamen Perzentilen der asymptotischen Verteilung bereit. MacKinnon (1994², 2010³) wendet Antwortflächennäherungen auf simulierte Daten an, um einen ungefähren p-Wert für einen beliebigen Wert der ADF-Teststatistik bereitzustellen.

Wenn die Spezifikationen für die Analyse 0,01, 0,05 oder 0,1 als Signifikanzniveau verwenden, vergleicht die Auswertung der Nullhypothese die Teststatistik mit dem kritischen Wert für dieses Signifikanzniveau. Wenn die Teststatistik kleiner oder gleich dem kritischen Wert ist, verwerfen Sie die Nullhypothese.

Wenn die Spezifikationen für die Analyse ein anderes Signifikanzniveau ergeben, dann vergleicht die Auswertung der Nullhypothese den ungefähren p-Wert mit dem Signifikanzniveau. Wenn der p-Wert kleiner als der Signifikanzniveau ist, weisen Sie die Nullhypothese zurück.

Kritische Werte für die Signifikanzstufen 0,01, 0,05 und 0,1

Mackinnon (2010) liefert die folgende allgemeine Formel für die Berechnung des kritischen Wertes für drei Signifikanzstufen: 0,01, 0,05 und 0,1:

wobei n die Anzahl der Beobachtungen ist, die die Analyse verwendet, um das Regressionsmodell anzupassen. Die Werte für und stammen von Tabellen in MacKinnon (2010). Wenn die Teststatistik kleiner oder gleich dem kritischen Wert ist, verwerfen Sie die Nullhypothese.

ungefähre p-Wert

Die Berechnung des ungefähren p-Wertes stammt aus Mackinnon (1994). Vergleichen Sie den p-Wert mit dem Signifikanzniveau, um eine Entscheidung zu treffen. Wenn der p-Wert kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau ist, weisen Sie die Nullhypothese zurück.

Bestimmung der Verzögerungsreihenfolge

Die Durchführung eines ADF erfordert die Spezifikation der Verzögerungsreihenfolge für das Regressionsmodell. Spezifikationen für die Analyse liefern die zu bewertenden Verzögerungsaufträge. Die standardmäßige maximale auszuwertende Reihenfolge hat das folgende Format:

Die Auswahl der Verzögerungsreihenfolge hängt vom Kriterium in den Spezifikationen der Analyse ab. Wenn die Spezifikationen für die Analyse kein Kriterium enthalten, ist das Regressionsmodell für den Test die maximale Ordnung von p.

In den Berechnungen zur Bestimmung der Verzögerungsreihenfolge hängt die Anzahl der Beobachtungen von der maximalen Verzögerungsreihenfolge ab, so dass m = n – p – 1.

Dabei gilt Folgendes:

Begriff	Beschreibung
n	Gesamtzahl der Beobachtungen
p	die maximale Lag-Ordnung der differenzierten Terme, die sich im Modell befinden

Die Berechnung jedes Kriteriums folgt:

Akaike Information Criterion (AIC)

Die Analyse wertet ein Regressionsmodell für jede Lag-Ordnung in den Spezifikationen der Analyse aus. Die Lag-Ordnung für den Test ist das Regressionsmodell mit dem Minimalwert des AIC.

Dabei gilt Folgendes:

Begriff	Beschreibung
m	Die Anzahl der Beobachtungen, die von der maximalen Lag-Ordnung abhängt
k	Die Anzahl der Koeffizienten im Modell, einschließlich der Konstante, wenn das Regressionsmodell eine Konstante ungleich Null aufweist
RSS	die Restsumme der Quadrate des Regressionsmodells

Bayessche Informationskriterium (BIC)

Die Analyse wertet ein Regressionsmodell für jede Lag-Ordnung in den Spezifikationen der Analyse aus. Die Lag-Ordnung für den Test ist das Regressionsmodell mit dem Minimalwert des BIC.

Dabei gilt Folgendes:

Begriff	Beschreibung
m	Die Anzahl der Beobachtungen, die von der maximalen Lag-Ordnung abhängt
k	Die Anzahl der Koeffizienten im Modell, einschließlich der Konstante, wenn das Regressionsmodell eine Konstante ungleich Null aufweist
RSS	die Restsumme der Quadrate des Regressionsmodells

t-Statistik

Wenn das Kriterium die t-Statistik ist, beginnt die Analyse mit dem Regressionsmodell mit der maximalen Lag-Ordnung für die Analyse. Die Analyse beginnt mit dem Regressionsmodell, bei dem die Lag-Ordnung p ist und die Reihenfolge sequenziell reduziert. Die Lag-Ordnung für den Test ist das erste Regressionsmodell, bei dem der Verzögerungsterm höchster Ordnung auf der Ebene von 0,05 signifikant ist. Die t-Statistik weist die folgende Form auf:

wobei i = 1,…, p

Begriff	Beschreibung
	die Schätzung der kleinsten Quadrate der Koeffizient im Regressionsmodell
	Der Standardfehler der Schätzung der kleinsten Quadrate der Koeffizient im Regressionsmodell

¹ Fuller, W. A. (1976). Introduction to statistical time series. New York, Wiley.

² MacKinnon, J. G. (1994). Approximate asymptotic distribution functions for unit-root and cointegration tests. Journal of Business and Economic Statistics, 12, 167-176.

³ MacKinnon, J. G. (2010). Critical values for cointegration tests: Working paper 1227. Queen's University, Department of Economics.