Kaplan-Meier-Schätzmethode

Mit dem Kaplan-Meier-Schätzwert, der auch als Produktlimitschätzung bezeichnet wird, können Überlebenswahrscheinlichkeiten für verteilungsfreie Datensätze mit mehreren Ausfällen und Aussetzungen berechnet werden. Die Gleichung des Schätzwerts lautet wie folgt:

mit S(t₀) = 1 und t₀ = 0.

Empirische Hazard-Funktion

Die Hazard-Funktion beschreibt die Ausfallrate für ein Intervall. Vor der ersten zensierten Beobachtung ist die Hazard-Funktion 0. Die Hazard-Funktion ändert sich nur bei unzensierten Beobachtungen. Minitab stellt die Hazard-Funktion nach dem letzten unzensierten Datenpunkt nicht dar.

Wenn Bindungen vorhanden sind, verwendet Minitab den größten Rang in der Bindung, um die Hazard-Funktion zu schätzen. Weitere Informationen finden Sie bei Nelson¹.

Mittlere Zeit bis zum Ausfall

Für unzensierte Daten entspricht die mittlere Zeit bis zum Ausfall der durchschnittlichen Ausfallzeit. Die allgemeine Formel für zensierte oder unzensierte Daten lautet wie folgt:

Wenn die größte Beobachtung zensiert ist, behandelt Minitab die Zeit der größten unzensierten Beobachtung zudem als Zeitlimit für die Berechnung. Weitere Informationen finden Sie bei Lee².

Standardfehler der MTTF

Der Standardfehler der mittleren Zeit bis zum Ausfall ist die Quadratwurzel der Varianz. Wenn alle Beobachtungen unzensiert sind, berechnet Minitab einen erwartungstreuen Schätzwert:

Für die Fälle, in denen einige Daten zensiert sind, wird der erwartungstreue Schätzwert der Varianz mit der folgenden Formel ausgedrückt:

Aufgrund der Form der empirischen Hazard-Funktion sind die Flächen unter der Überlebenskurve A_r Rechtecke, deren Höhen der Überlebensfunktion und deren Längen den Intervallen zwischen unzensierten Beobachtungen entsprechen.

Notation

Begriff	Beschreibung
tr	Zeit des Datenpunkts mit Rang r
r	Rang des Datenpunkts, wobei der früheste Ausfall den niedrigsten Rang aufweist
n	Gesamtzahl der Einheiten
δr	0, wenn die j-te Beobachtung zensiert ist, oder 1, wenn die j-te Beobachtung unzensiert ist
c	Anzahl der Datenpunkte bis zur nächsten unzensierten Beobachtung
S(tr)	empirische Überlebensfunktion zum Zeitpunkt tr
	durchschnittlicher Ausfallstress
Ar	Fläche unter der Kurve des Überlebensdiagramms rechts von tr
m	Gesamtzahl der unzensierten Beobachtungen

Literaturhinweise

1. W. Nelson (1982). Applied Life Data Analysis. Applied Life Data Analysis. S. 133.

2. Elisa T. Lee (1992). Statistical Methods for Survival Data Analysis, Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. S. 73-76.