Methoden und Formeln für Schätzmethoden in Verteilungsidentifikation (beliebige Zensierung)

In diesem Thema

Maximum-Likelihood (MLE)
Kleinste Quadrate (LSE)

Maximum-Likelihood (MLE)

Maximum-Likelihood-Schätzwerte der Parameter werden durch Maximieren der Likelihood-Funktion in Bezug auf die Parameter berechnet. Die Likelihood-Funktion beschreibt für jede Gruppe von Verteilungsparametern auf der Grundlage der Stichprobendaten die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Verteilung diese Parameter aufweist.

Minitab berechnet mit dem Newton-Raphson-Algorithmus¹ die Maximum-Likelihood-Schätzwerte der Parameter, die die Verteilung definieren. Der Newton-Raphson-Algorithmus ist eine rekursive Methode zum Berechnen des Maximums einer Funktion. Alle resultierenden Funktionen, z. B. die Perzentile und Überlebenswahrscheinlichkeiten, werden auf der Grundlage der betreffenden Verteilung berechnet.

Hinweis

Für einige Daten ist die Likelihood-Funktion unbeschränkt und liefert daher inkonsistente Schätzwerte für Verteilungen mit Schwellenwertparameter (z. B. die Exponentialverteilung mit 2 Parametern, die Weibull-Verteilung mit 3 Parametern, die lognormale Verteilung mit 3 Parametern und die loglogistische Verteilung mit 3 Parametern). In solchen Fällen kann die gewöhnliche Maximum-Likelihood-Schätzmethode versagen. Wenn dies eintritt, nimmt Minitab mit Hilfe eines Algorithmus zur Abweichungskorrektur einen festen Schwellenwertparameter an und ermittelt die Maximum-Likelihood-Schätzwerte der anderen beiden Parameter. Weitere Informationen finden Sie in den Veröffentlichungen der Literaturhinweise 2, 3, 4 und 5.

Literaturhinweise

W. Murray, Hrsg. (1972). Numerical Methods for Unconstrained Optimization, Academic Press.
F. Giesbrecht und A. H. Kempthorne (1966). „Maximum Likelihood Estimation in the Three-parameter Lognormal Distribution“, Journal of the Royal Statistical Society, B 38, S. 257-264.
H. L. Harter und A. H. Moore (1966). „Local Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Three-parameter Lognormal Populations from Completed and Censored Samples“, Journal of the American Statistical Association, 61, S. 842-851.
R. A. Lockhart und M. A. Stephens (1994). „Estimation and Tests of Fit for the Three-parameter Weibull Distribution“, Journal of the Royal Statistical Society, 56, Nr. 3, S. 491-500.
R. L. Smith (1985). „Maximum Likelihood Estimation in a Class of Non-regular Cases“, Biometrika, 72, S. 67-90.

Kleinste Quadrate (LSE)

Die Schätzwerte nach der Methode der kleinsten Quadrate werden berechnet, indem eine Regressionslinie an die in einem Wahrscheinlichkeitsnetz angeordneten Punkte aus einem Datensatz mit der kleinsten Summe der quadrierten Abweichungen angepasst wird (kleinstes Fehlerquadrat). Die Linie wird durch eine Regression entweder der Zeit bis zum Ausfall oder des Logarithmus der Zeit bis zum Ausfall (x) auf den transformierten Prozentsatz (y) gebildet.

Hinweis

Weitere Informationen zu den Auswirkungen der Annahme von gleichen Form- oder Skalenparametern auf die LSE- oder MLE-Schätzwerte finden Sie unter Schätzmethode der kleinsten Quadrate und Maximum-Likelihood-Schätzmethode; klicken Sie dort auf „Annehmen von gleichen Form- oder Skalenparametern für die verteilungsgebundene Analyse“.