Methoden und Formeln für die Koeffizienten und Regressionsgleichungen für Cox-Modell nur mit festen Prädiktoren anpassen

Das semiparametrische Cox-Proportional-Hazards-Modell verwendet die Prädiktorwerte für eine Person, , um den Risiko-Score vorherzusagen, . Die Regressionsgleichung weist die folgende allgemeine Form auf:

Dabei gilt: ist der vektor der geschätzten Koeffizienten Die geschätzten Koeffizienten können Werte für Begriffe höherer Ordnung enthalten, z. B. die Quadrate kontinuierlicher Prädiktoren. Der geschätzte Risiko-Score gilt für den gesamten Zeitraum einer Studie und ist nicht zeitabhängig. In der Ausgabe hat die Gleichung die folgende Form, in der eine separate Gleichung für verschiedene Ebenen kategorialer Faktoren angezeigt wird:

Lassen Sie die logpartielle Wahrscheinlichkeitsfunktion für das Cox-Proportional-Hazards-Modell . Der Vektor, der die Partial-Likelihood-Funktion maximiert, , gibt die geschätzten Koeffizienten für das Modell an. Finden , setzen Sie die partiellen Ableitungen der logpartiellen Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Null und lösen Sie die Gleichungen für . Minitab Statistical Software verwendet die Newton-Raphson-Iterationsmethode, um die Gleichungen zu lösen. Siehe Murray (1972)¹ für eine Beschreibung der newton-Raphson iterativen Methode.

Der Vektor partieller Ableitungen der logpartiellen Wahrscheinlichkeitsfunktion hängt davon ab, ob die Antwortvariable gebundene Ereigniszeiten enthält. Wenn die Antwortvariable Bindungen enthält, verwendet die Schätzung entweder die Efron-Näherung oder die Breslow-Näherung. Wenn die Antwortvariable keine Bindungen hat, liefern alle 3 Methoden die gleichen Schätzungen. Je weniger Bindungen in den Daten enthalten sind, desto näher sind die Ergebnisse der beiden Approximationsmethoden. Je mehr Bindungen in den Daten sind, desto mehr verbessert sich die Efron-Näherung im Verhältnis zur Breslow-Näherung.

Die Berechnungen verwenden die folgende Definition:

Begriff	Beschreibung
	der Vektor der kovariaten Werte, der der Stichprobeneinheit mit der Ereigniszeit entspricht

Daten ohne Bindung

Die Berechnungen für Daten ohne Bindungen verwenden die folgenden Definitionen:

Begriff	Beschreibung
	die Anzahl der Ereigniszeiten
	das zu einem bestimmten Zeitpunkt festgelegte Risiko , bei der es sich um die Menge aller Stichprobeneinheiten handelt, die vor der Zeit noch nicht fehlgeschlagen sind
	eine Zählvariable für die Anzahl der Parameter im Modell, wenn ist die Anzahl der Parameter im Modell

Die partielle Wahrscheinlichkeitsfunktion für das Cox-Proportional-Hazards-Modell ohne Bindungen hat die folgende Form:

Die Verlustfunktion weist die folgende Form auf:

Der Vektor partieller Derivate in Bezug auf die Komponenten von hat die folgende Form:

so dass die partielle Ableitung für einen bestimmten Koeffizienten, , hat die folgende Form:

Daten mit Bindungen

Die Berechnungen für Daten mit Bindungen verwenden die folgenden Definitionen:

Begriff	Beschreibung
	die Anzahl der Ereignisse zum Zeitpunkt
	Die Menge aller Beispieleinheiten, die das Ereignis zum Zeitpunkt haben
	das zu einem bestimmten Zeitpunkt festgelegte Risiko , das ist die Menge aller Stichprobeneinheiten, die vor der Zeit noch nicht bestanden haben

Zusätzlich, lassen Sie

Efron-Approximation für Daten mit Bindungen

Die Verlustfunktion weist die folgende Form auf:

Die Verlustfunktion weist die folgende Form auf:

so dass die partielle Ableitung für einen bestimmten Koeffizienten, , hat die folgende Form:

Breslow-Näherung für Daten mit Bindungen

Die Verlustfunktion weist die folgende Form auf:

Die Verlustfunktion weist die folgende Form auf:

so dass die partielle Ableitung für einen bestimmten Koeffizienten, , hat die folgende Form:

Die Standardfehler der Koeffizienten sind die Quadratwurzeln der Diagonalelemente der Kovarianzmatrix: Die Varianz-Kovarianz-Matrix hat die folgende Form:

wobei die beobachtete Informationsmatrix, hängt davon ab, ob die Antwortvariable gebundene Ereigniszeiten enthält. Wenn die Antwortvariable Bindungen enthält, verwendet die Schätzung entweder die Efron-Näherung oder die Breslow-Näherung. Wenn die Antwortvariable keine Bindungen hat, liefern alle 3 Methoden die gleichen Schätzungen. Je weniger Bindungen in den Daten enthalten sind, desto näher sind die Ergebnisse der beiden Approximationsmethoden. Je mehr Bindungen in den Daten sind, desto mehr verbessert sich die Efron-Näherung im Verhältnis zur Breslow-Näherung.

Daten ohne Bindung

Das Element (k, l) der beobachteten Fisher-Informationsmatrix hat folgende Form:

wobei das Element (k, l) der hessischen Matrix für die partielle Log-Wahrscheinlichkeitsfunktion folgende Form hat:

Efron-Approximation für Daten mit Bindungen

Das Element (k, l) der beobachteten Fisher-Informationsmatrix hat folgende Form:

wobei das Element (k, l) der hessischen Matrix für die partielle Log-Wahrscheinlichkeitsfunktion folgende Form hat:

Dabei gilt Folgendes:

und

Breslow-Näherung für Daten mit Bindungen

Das Element (k, l) der beobachteten Fisher-Informationsmatrix hat folgende Form:

wobei das Element (k, l) der hessischen Matrix für die partielle Log-Wahrscheinlichkeitsfunktion folgende Form hat:

Dabei gilt Folgendes:

und

Die Verlustfunktion weist die folgende Form auf:

Dabei gilt: ist der geschätzte Standardfehler des Koeffizienten . Die Werte von ist die positive Quadratwurzel des k-^ter diagonalen Elements von .

Ungefähr 100(1 ??? ??) Das Konfidenzintervall für den Koeffizienten hat die folgende Form:

Dabei gilt: ist das obere α Perzentilpunkt der Standardnormalverteilung.

Für ein Modell, das eine kategoriale Variable mit s-Ebenen als Schichtungsvariable enthält, sind die Regressionskoeffizienten über Schichten hinweg konstant. Die Schätzung der Regressionskoeffizienten im geschichteten Modell hat den gleichen Prozess wie für das proportionale Gefahrenmodell ohne Schichtung. Für das geschichtete Modell hat die logpartielle Wahrscheinlichkeitsfunktion die folgende Form:

Dabei gilt: ist die log-partielle Wahrscheinlichkeit innerhalb der Schicht j. Summieren Sie die Ableitungen über jede Schicht, um die partiellen Wahrscheinlichkeitsgleichungen zu erhalten. Die Ableitungen über jede Schicht sind die gleichen wie die Derivate für das proportionale Gefahrenmodell ohne Schichtung. Die Breslow- und Efron-Methoden gelten entsprechend.